Sabendo que a equação polar é dada por r=4(\cos 2 \theta), pede-se:
a. Determine a equação cartesiana.
b. Obtenha, em coordenadas polares, dois pontos que pertençam ao gráfico da equação. Em seguida, apresente seus correspondentes em coordenadas cartesianas.
(2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares pela equação
r = 4\bigl(\cos 2\theta\bigr).
Pede-se:
  • (a) determinar a equação cartesiana (ou seja, uma relação envolvendo x e y que descreva a mesma curva);
  • (b) apresentar dois pontos que pertençam ao gráfico, primeiro em coordenadas polares (r,\theta) e em seguida os correspondentes em coordenadas cartesianas (x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação polar é \,r=4\cos 2\theta.
  • Lembrar que um ponto em coordenadas polares (r,\theta) corresponde em cartesianas a (x,y)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta).

Passo 2

Relembrando e estabelecendo as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas (isso é essencial para fazer a troca de variáveis):
  • Por definição,
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Daí
r^{2}=x^{2}+y^{2}
porque r^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Para a função trigonométrica com o argumento duplicado existe a identidade
\cos 2\theta = \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Substituindo \cos\theta = x/r e \sin\theta = y/r nessa identidade obtemos uma expressão de \cos 2\theta em termos de x,y,r:
\cos 2\theta = \left(\frac{x}{r}\right)^{2}-\left(\frac{y}{r}\right)^{2}=\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.
Essa última fórmula é muito útil para passar de polar para cartesiano.

Passo 3

Usar a expressão de \cos 2\theta em termos de x,y,r na equação dada \,r=4\cos 2\theta.
Começando por
r = 4\cos 2\theta,
substitui-se \cos 2\theta=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}:
r = 4\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} (atenção ao domínio: r^{2}\ge 0), obtém-se
r^{3} = 4\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Agora lembrando que r^{2}=x^{2}+y^{2} e que r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a norma não-negativa), podemos escrever r^{3}=(r^{2})^{3/2}=(x^{2}+y^{2})^{3/2}. Assim uma forma direta da equação cartesiana é
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2} = 4\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Essa forma já é uma equação em x e y, porém contém a potência fracionária.

Passo 4

Obter uma forma polinomial (sem raiz) frequentemente é preferível para identificar a curva. Para isso, elevamos ao quadrado ambos os lados da equação do passo anterior. Elevando ambos os lados ao quadrado temos:
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3} = 16\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)^{2}.
Essa é uma equação puramente algébrica (polinomial) em x e y. Nota didática importante: ao elevar ao quadrado pode-se introduzir soluções extrínsecas relacionadas ao sinal; entretanto, a equação original em polares tem em geral pontos com r possivelmente negativo que representam a mesma posição com ângulo deslocado em \pi. Para a descrição da curva no plano cartesiano a forma polinomial acima é a representação conveniente e correta do lugar geométrico descrito por \,r=4\cos 2\theta.
Portanto, as duas formas úteis da equação cartesiana são:
\boxed{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2} = 4\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)} \quad\text{e}\quad \boxed{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3} = 16\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 5

Agora vamos escolher dois ângulos \theta e calcular os respectivos r pela equação polar \,r=4\cos 2\theta. Vou escolher ângulos que dão valores exatos e fáceis de manipular (isso é prático na prova).
Escolha 1: \theta=0.
Calcular \cos 2\theta=\cos 0=1. Então
r = 4\cdot 1 = 4.
Logo um ponto em coordenadas polares que pertence à curva é (r,\theta) = (4,0).
Escolha 2: \theta=\dfrac{\pi}{6}.
Calcular \cos 2\theta=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2}. Então
r = 4\cdot \tfrac{1}{2} = 2.
Logo outro ponto em coordenadas polares que pertence à curva é (r,\theta) = \bigl(2,\tfrac{\pi}{6}\bigr).
(Antes que apareça a dúvida: \theta=\tfrac{\pi}{4} daria r=0, que também é um ponto válido — a origem — mas escolhi \tfrac{\pi}{6} para ter um ponto distinto e não-trivial.)

Passo 6

Converter os dois pontos polares para cartesianas usando x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta.
Para (r,\theta)=(4,0):
x = 4\cos 0 = 4\cdot 1 = 4,\qquad y = 4\sin 0 = 4\cdot 0 = 0.
Logo o correspondente cartesiano é (x,y)=(4,0).
Para (r,\theta)=\bigl(2,\tfrac{\pi}{6}\bigr):
x = 2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, \qquad y = 2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Logo o correspondente cartesiano é (x,y)=\bigl(\sqrt{3},\,1\bigr).

Resposta

a. \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3}=16\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)^{2}
b. (r,\theta)=(4,0)\mapsto (x,y)=(4,0) e (r,\theta)=\bigl(2,\tfrac{\pi}{6}\bigr)\mapsto (x,y)=\bigl(\sqrt{3},1\bigr)

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