Sabendo que a equação polar é dada por
, pede-se:
a. Determine a equação cartesiana.
b. Obtenha, em coordenadas polares, dois pontos que pertençam ao gráfico da equação. Em seguida, apresente seus correspondentes em coordenadas cartesianas.
(2,5 pontos)
a. Determine a equação cartesiana.
b. Obtenha, em coordenadas polares, dois pontos que pertençam ao gráfico da equação. Em seguida, apresente seus correspondentes em coordenadas cartesianas.
(2,5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares pela equação
Pede-se:
- (a) determinar a equação cartesiana (ou seja, uma relação envolvendo
e que descreva a mesma curva); - (b) apresentar dois pontos que pertençam ao gráfico, primeiro em coordenadas polares
e em seguida os correspondentes em coordenadas cartesianas .
Informações relevantes fornecidas:
- A equação polar é
. - Lembrar que um ponto em coordenadas polares
corresponde em cartesianas a .
Passo 2
Relembrando e estabelecendo as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas (isso é essencial para fazer a troca de variáveis):
- Por definição,
- Daí
porque
.
- Para a função trigonométrica com o argumento duplicado existe a identidade
Substituindo
e
nessa identidade obtemos uma expressão de
em termos de
:
Essa última fórmula é muito útil para passar de polar para cartesiano.
Passo 3
Usar a expressão de
em termos de
na equação dada
.
Começando por
substitui-se
:
Multiplicando ambos os lados por
(atenção ao domínio:
), obtém-se
Agora lembrando que
e que
(a norma não-negativa), podemos escrever
. Assim uma forma direta da equação cartesiana é
Essa forma já é uma equação em
e
, porém contém a potência fracionária.
Passo 4
Obter uma forma polinomial (sem raiz) frequentemente é preferível para identificar a curva. Para isso, elevamos ao quadrado ambos os lados da equação do passo anterior. Elevando ambos os lados ao quadrado temos:
Essa é uma equação puramente algébrica (polinomial) em
e
. Nota didática importante: ao elevar ao quadrado pode-se introduzir soluções extrínsecas relacionadas ao sinal; entretanto, a equação original em polares tem em geral pontos com
possivelmente negativo que representam a mesma posição com ângulo deslocado em
. Para a descrição da curva no plano cartesiano a forma polinomial acima é a representação conveniente e correta do lugar geométrico descrito por
.
Portanto, as duas formas úteis da equação cartesiana são:
Passo 5
Agora vamos escolher dois ângulos
e calcular os respectivos
pela equação polar
. Vou escolher ângulos que dão valores exatos e fáceis de manipular (isso é prático na prova).
Escolha 1:
.
Calcular . Então
Calcular
Logo um ponto em coordenadas polares que pertence à curva é
.
Escolha 2:
.
Calcular . Então
Calcular
Logo outro ponto em coordenadas polares que pertence à curva é
.
(Antes que apareça a dúvida:
daria
, que também é um ponto válido — a origem — mas escolhi
para ter um ponto distinto e não-trivial.)
Passo 6
Converter os dois pontos polares para cartesianas usando
.
Para
:
Logo o correspondente cartesiano é
.
Para
:
Logo o correspondente cartesiano é
.
Resposta
a.
b.
e