Ache a série de Maclaurin de f(z)=1 /\left(1+z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: encontrar a série de Maclaurin de f(z)=\dfrac{1}{1+z^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{1+z^{2}}.
    O que é pedido:
  • A série de Maclaurin, isto é, a expansão em potências de z centrada em 0 (forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n) e, implicitamente, a região onde essa série converge.

Passo 2

Recordando um resultado básico útil (a “ferramenta” que vamos usar): a série geométrica.
A identidade é
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
válida para r com |r|<1. Aqui r é uma variável qualquer (complexa também funciona) e a fórmula significa que a soma infinita da potência de r \dfrac{1}{1-r}, desde que a magnitude de r seja estritamente menor que 1. Esta é uma fórmula elementar que normalmente se aprende cedo — é a base para muitas expansões em séries de potências.

Passo 3

Aplicando a série geométrica ao nosso f: observe que
\frac{1}{1+z^{2}}=\frac{1}{1-(-z^{2})}.
Aqui podemos identificar r=-z^{2}. Substituindo na fórmula geométrica (e lembrando da condição de convergência |r|<1), obtemos, para |-z^{2}|<1 (isto é, |z|^{2}<1 ou |z|<1),
\frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-z^{2})^{n}.

Passo 4

Simplificando a soma, (-z^{2})^{n}=(-1)^{n}z^{2n}. Portanto a série fica
\frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{2n}.
Escrevendo os primeiros termos temos
\frac{1}{1+z^{2}}=1 - z^{2} + z^{4} - z^{6} + \cdots.

Passo 5

Coeficientes e região de convergência: da expressão acima segue que os coeficientes da série de Maclaurin são
a_{2n}=(-1)^{n}\quad\text{e}\quad a_{2n+1}=0.
A condição de convergência veio da substituição r=-z^{2} na série geométrica, que exige |r|<1. Assim a expansão é válida para |z|<1. Isso também faz sentido analiticamente: f tem singularidades em z=\pm i, cuja distância até 0 é 1, portanto o raio de convergência da série de Maclaurin é R=1.

Passo 6

Pequena verificação (sanity check) com derivadas em 0 para ver que a forma faz sentido: f(0)=1 corresponde ao termo constante 1. A derivada primeira é f'(z)=-2z(1+z^{2})^{-2}, logo f'(0)=0, o que explica que não haja termo em z (coeficiente linear nulo). A segunda derivada em 0 f''(0)=-2, e assim a_{2}=f''(0)/2!=-1, compatível com a série encontrada. Esses cheques rápidos mostram coerência.

Resposta

\frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{2n}=1-z^{2}+z^{4}-z^{6}+\cdots,\quad\text{válida para }|z|<1.á

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