Ache a série de Maclaurin de
.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: encontrar a série de Maclaurin de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.
O que é pedido: - A série de Maclaurin, isto é, a expansão em potências de
centrada em (forma ) e, implicitamente, a região onde essa série converge.
Passo 2
Recordando um resultado básico útil (a “ferramenta” que vamos usar): a série geométrica.
A identidade é
A identidade é
válida para
com
. Aqui
é uma variável qualquer (complexa também funciona) e a fórmula significa que a soma infinita da potência de
dá
, desde que a magnitude de
seja estritamente menor que
. Esta é uma fórmula elementar que normalmente se aprende cedo — é a base para muitas expansões em séries de potências.
Passo 3
Aplicando a série geométrica ao nosso
: observe que
Aqui podemos identificar
. Substituindo na fórmula geométrica (e lembrando da condição de convergência
), obtemos, para
(isto é,
ou
),
Passo 4
Simplificando a soma,
. Portanto a série fica
Escrevendo os primeiros termos temos
Passo 5
Coeficientes e região de convergência: da expressão acima segue que os coeficientes da série de Maclaurin são
A condição de convergência veio da substituição
na série geométrica, que exige
. Assim a expansão é válida para
. Isso também faz sentido analiticamente:
tem singularidades em
, cuja distância até
é
, portanto o raio de convergência da série de Maclaurin é
.
Passo 6
Pequena verificação (sanity check) com derivadas em
para ver que a forma faz sentido:
corresponde ao termo constante
. A derivada primeira é
, logo
, o que explica que não haja termo em
(coeficiente linear nulo). A segunda derivada em
dá
, e assim
, compatível com a série encontrada. Esses cheques rápidos mostram coerência.