Ache a série de Taylor para a função y=sen 3 x em pi3.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de y=sin(3x) em torno de x0=tfracpi3. Para isso vamos usar a definição de série de Taylor numa vizinhança de um ponto x0 e a série de Maclaurin de sin t.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável h=x-tfracpi3, de modo que
x = pi3 + h
e
sin(3x)=sinl(3(tfracpi3+h)r)=sin(pi+3h)=-sin(3h)

Passo 3

Recordando a série de Maclaurin de sin t:
sin t = sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Substituímos t=3h nessa série:
sin(3h)=sumn=0^infty(-1)^n3^2n+1h^2n+1(2n+1)!
Como sin(3x)=-sin(3h), obtemos
sin(3x) =-sumn=0^infty(-1)^n3^2n+1(x-tfracpi3)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n+13^2n+1(x-tfracpi3)^2n+1(2n+1)!

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos em potências de (x-tfracpi3), temos
sin(3x) =-3l(x-tfracpi3r) +92l(x-tfracpi3r)^3 -8140l(x-tfracpi3r)^5+cdots

Resposta

boxedsin(3x) =sumn=0^infty(-1)^n+13^2n+1(2n+1)!,l(x-tfracpi3r)^2n+1 =-3(x-tfracpi3)+92(x-tfracpi3)^3-8140(x-tfracpi3)^5+cdots

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