Determine se
E ou nióo um campo vetorial conservador. Se for, determine uma funçio
tal que
f.
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Passo 1
O enunciado pede, para cada campo vetorial
, verificar se ele é conservador e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. O teste clássico é conferir se
num domínio simplesmente conexo (aqui é todo
salvo restrições de logaritmo). Se der igualdade, existe
e a achamos integrando
em
(ou
em
) e ajustando uma função “à parte”.
Passo 2
Para
definimos
Calculemos as derivadas mistas:
Como coincidem,
é conservador. Agora, integramos
em
:
onde
é “constante” em
. Diferenciando esse
em
:
deve ser igual a
. Logo
e podemos tomar
. Assim
Passo 3
Para
temos
Como
(salvo
), o teste falha em geral e
não é conservador.
Passo 4
Para
tomamos
Calculamos
Como são iguais,
é conservador. Integramos
em
:
Diferenciando em
:
deve dar
, então
. Assim
Passo 5
Para
o domínio natural é
. Seja
Verificamos
iguais, logo conservador. Integramos
em
:
Então
deve ser
, o que dá
. Ficamos com
Resposta
-
é conservador e um potencial é
-
não é conservador. -
é conservador e um potencial é
-
é conservador e um potencial é