Determine se F E ou nióo um campo vetorial conservador. Se for, determine uma funçio f tal que F=nabla f.
  1. F(x, y)=(y e^prime+sen y) i+(e^prime+x cos y) j
  2. F(x, y)=(3 x^2-2 y^2) i+(4 x y+3) j
  3. F(x, y)=(y^2 cos x+cos y) i+(2 y sen x-r sen y) j
  4. F(x, y)=(ln y+y / x) i+(ln x+x / y) j

Passo 1

O enunciado pede, para cada campo vetorial F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)), verificar se ele é conservador e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que nabla f=F. O teste clássico é conferir se
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
num domínio simplesmente conexo (aqui é todo R^2 salvo restrições de logaritmo). Se der igualdade, existe f e a achamos integrando P em x (ou Q em y) e ajustando uma função “à parte”.

Passo 2

Para F1(x,y)=l(y e^x+sin y,;e^x+xcos yr) definimos
P=y e^x+sin y, Q=e^x+xcos y
Calculemos as derivadas mistas:
partial Ppartial y =;e^x+cos y, partial Qpartial x =;e^x+cos y
Como coincidem, F1 é conservador. Agora, integramos P em x:
f(x,y) =integrall(y e^x+sin yr),dx =y e^x + xsin y + h(y),
onde h(y) é “constante” em x. Diferenciando esse f em y:
partial fpartial y =e^x + xcos y + h'(y)
deve ser igual a Q=e^x+xcos y. Logo h'(y)=0 e podemos tomar h(y)=C. Assim
f(x,y)=y e^x + xsin y + C

Passo 3

Para F8(x,y)=l(3x^2-2y^2,;4xy+3r) temos
P=3x^2-2y^2, Q=4xy+3,
partial Ppartial y=-4y, partial Qpartial x=4y
Como -4yneq4y (salvo y=0), o teste falha em geral e F8 não é conservador.

Passo 4

Para F9(x,y)=l(y^2cos x+cos y,;2ysin x - xsin yr) tomamos
P=y^2cos x+cos y, Q=2ysin x - xsin y
Calculamos
partial Ppartial y =2ycos x - sin y, partial Qpartial x =2ycos x - sin y
Como são iguais, F9 é conservador. Integramos P em x:
f(x,y) =integrall(y^2cos x+cos yr),dx =y^2sin x + xcos y + k(y)
Diferenciando em y:
partial fpartial y =2ysin x - xsin y + k'(y)
deve dar Q=2ysin x - xsin y, então k'(y)=0. Assim
f(x,y)=y^2sin x + xcos y + C

Passo 5

Para F10(x,y)=l(ln y + tfracyx,;ln x + tfracxyr) o domínio natural é x>0,y>0. Seja
P=ln y + yx, Q=ln x + xy
Verificamos
partial Ppartial y =1y + 1x, partial Qpartial x =1x + 1y,
iguais, logo conservador. Integramos P em x:
f(x,y) =integrall(ln y + tfracyxr),dx =xln y + yln x + m(y)
Então
partial fpartial y =xy + ln x + m'(y)
deve ser Q=ln x + tfracxy, o que dá m'(y)=0. Ficamos com
f(x,y)=xln y + yln x + C

Resposta

  1. F1 é conservador e um potencial é
f(x,y)=y e^x + xsin y + C
  1. F8 não é conservador.
  2. F9 é conservador e um potencial é
f(x,y)=y^2sin x + xcos y + C
  1. F10$ é conservador e um potencial é
f(x,y)=xln y + yln x + C

Exercícios relacionados