Ache a soma das séries.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
Informações dadas:
- A série é indexada por
começando em . - O termo geral é
. - O objetivo é obter uma expressão fechada (uma função de
) que represente a soma da série.
Passo 2
Vou verificar a convergência para poder manipular a série termo a termo (trocar soma e reindexação etc.). Use a razão entre termos consecutivos:
Como
quando
para todo
, a série converge absolutamente para todo
(na verdade é inteira). Portanto posso reindexar e usar somas de séries conhecidas sem problema.
Passo 3
Faço a mudança de índice
. Quando
temos
, e quando
temos
. Assim:
Agora escrevo
e vou manipular para aparecer a série do exponencial.
Passo 4
Observe que
para
. Assim, para
,
Lembrando a série do exponencial:
com
temos
. Portanto
Substituindo na expressão anterior,
Faço uma pequena álgebra para deixar mais “arrumado”: multiplicando para simplificar,
Passo 5
Trato o caso
por continuidade / verificação direta. Na série original, se
cada termo é
, logo a soma é
. Pela expressão fechada, tomo o limite
:
usar a expansão de Taylor dá
usar a expansão de Taylor
dividindo por
obtemos algo que tende a
quando
. Portanto a expressão estendida por continuidade vale
em
, concordando com a soma direta.
Passo 6
Checagem rápida: para
a fórmula dá
Na série original com
temos
, ok — bateu.