Ache a soma das séries.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}(n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}(n+1)!}.
Informações dadas:
  • A série é indexada por n começando em 1.
  • O termo geral é \dfrac{x^{n}}{2^{n}(n+1)!}.
  • O objetivo é obter uma expressão fechada (uma função de x) que represente a soma da série.

Passo 2

Vou verificar a convergência para poder manipular a série termo a termo (trocar soma e reindexação etc.). Use a razão entre termos consecutivos:
a_n=\frac{x^{n}}{2^{n}(n+1)!}, \qquad \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{|x|^{\,n+1}}{2^{n+1}(n+2)!}\cdot\frac{2^{n}(n+1)!}{|x|^{\,n}} =\frac{|x|}{2}\cdot\frac{1}{n+2}.
Como \dfrac{|x|}{2}\cdot\dfrac{1}{n+2}\to 0 quando n\to\infty para todo x, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R} (na verdade é inteira). Portanto posso reindexar e usar somas de séries conhecidas sem problema.

Passo 3

Faço a mudança de índice \;m=n+1. Quando n=1 temos m=2, e quando n\to\infty temos m\to\infty. Assim:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}(n+1)!} =\sum_{m=2}^{\infty}\frac{x^{m-1}}{2^{m-1}m!}.
Agora escrevo (x/2)^{m-1} e vou manipular para aparecer a série do exponencial.

Passo 4

Observe que (x/2)^{m-1}=(2/x)\,(x/2)^{m} para x\neq 0. Assim, para x\neq 0,
\sum_{m=2}^{\infty}\frac{x^{m-1}}{2^{m-1}m!} =\frac{2}{x}\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(x/2)^{m}}{m!}.
Lembrando a série do exponencial:
e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!},
com t=x/2 temos \displaystyle e^{x/2}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{m}}{m!}. Portanto
\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(x/2)^{m}}{m!} = e^{x/2}-\frac{(x/2)^{0}}{0!}-\frac{(x/2)^{1}}{1!} = e^{x/2}-1-\frac{x}{2}.
Substituindo na expressão anterior,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}(n+1)!} =\frac{2}{x}\Bigl(e^{x/2}-1-\frac{x}{2}\Bigr), \qquad (x\neq 0).
Faço uma pequena álgebra para deixar mais “arrumado”: multiplicando para simplificar,
\frac{2}{x}\Bigl(e^{x/2}-1-\frac{x}{2}\Bigr) =\frac{2e^{x/2}-2-x}{x}.

Passo 5

Trato o caso x=0 por continuidade / verificação direta. Na série original, se x=0 cada termo é 0, logo a soma é 0. Pela expressão fechada, tomo o limite x\to 0:
usar a expansão de Taylor e^{x/2}=1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{8}+\cdots
2\Bigl(e^{x/2}-1-\frac{x}{2}\Bigr)=2\cdot\frac{x^{2}}{8}+\cdots=\frac{x^{2}}{4}+\cdots,
dividindo por x obtemos algo que tende a 0 quando x\to 0. Portanto a expressão estendida por continuidade vale 0 em x=0, concordando com a soma direta.

Passo 6

Checagem rápida: para x=2 a fórmula dá
\frac{2}{2}\Bigl(e^{1}-1-1\Bigr)=e-2.
Na série original com x=2 temos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}(n+1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m!}=e-2, ok — bateu.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}(n+1)!}=\frac{2}{x}\Bigl(e^{x/2}-1-\frac{x}{2}\Bigr) para x\neq 0.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{0^{n}}{2^{n}(n+1)!}=0 (caso x=0, valor por continuidade).

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