Seja
, onde
. Ache o intervalo de convergência da série de potências acima e uma fórmula para
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Achar o intervalo de convergência da série de potências
sob a condição para todo . - Encontrar uma fórmula fechada para
.
Informações dadas e relevantes:
- A série é
. - Os coeficientes satisfazem a recorrência
para todo . - Não foi dada mais informação sobre
e ; portanto a solução deve ser em função de e , considerando também o caso trivial em que ambos sejam zero.
Passo 2
Entender a recorrência
. Essa relação diz que a sequência
é periódica de período
. Vamos deduzir explicitamente os termos pares e ímpares.
Prova por recorrência simples:
- Para
: . - Para
: . - Repetindo,
, , e assim por diante.
Logo, para todo
vale
Isto significa que todos os coeficientes pares são iguais a
e todos os coeficientes ímpares são iguais a
.
Passo 3
Separar a série original em duas somas: termos de índice par e termos de índice ímpar. Substituindo o que encontramos em termos de
e
, obtemos
Usando
e
, isso fica
Passo 4
Aplicar a fórmula da série geométrica. Lembrete: a série geométrica
converge se, e somente se,
, e nesse caso vale
Aqui usaremos
na primeira soma e
também na segunda soma, lembrando de um fator
extra na segunda:
- Para a primeira soma:
- Para a segunda soma:
Substituindo essas somas em
obtemos, para
(isto é,
),
Passo 5
Determinar o intervalo (ou raio) de convergência.
Pelo uso da série geométrica com
a condição de convergência das duas somas foi
, isto é
. Portanto o raio de convergência é
e a série converge pelo menos para
.
Restam os pontos da fronteira
. Para analisar:
- Em
a série vira . Como é periódico de período com valores , os termos não tendem a salvo o caso . A condição necessária para convergência de uma série é que os termos individuais tendam a zero; logo, se algum de for diferente de zero, a série diverge em . Se então a série é identicamente zero e converge para todo . - Em
a série vira . Os termos têm módulo e não tendem a zero a menos que ; portanto, novamente, com algum coeficiente não nulo a série diverge em .
Conclusão sobre os extremos: para uma sequência não trivial (isto é, ao menos um de
não nulo) os pontos
não pertencem ao conjunto de convergência. No caso trivial
a série é a série zero que converge para todo
.
Passo 6
Resumo final e observações práticas para a prova:
- A ideia-chave foi usar a periodicidade de período
dos coeficientes para separar a série em duas geométricas (pares e ímpares). - A fórmula fechada é simples e útil para checar comportamento e singularidades:
tem pólos em , o que corresponde exatamente à perda de convergência na fronteira quando a série não é identicamente zero. - Caso prático: se
e então em . Se e então em .
Resposta
Intervalo de convergência:
(exceto o caso trivial
, em que a série é identicamente zero e converge para todo
).
Fórmula para
(válida para
):