Seja f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, onde a_{n+2}=a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}. Ache o intervalo de convergência da série de potências acima e uma fórmula para f(x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Achar o intervalo de convergência da série de potências f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} sob a condição a_{n+2}=a_{n} para todo n\in\mathbb{N}.
  • Encontrar uma fórmula fechada para f(x).
Informações dadas e relevantes:
  • A série é f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
  • Os coeficientes satisfazem a recorrência a_{n+2}=a_{n} para todo n.
  • Não foi dada mais informação sobre a_{0} e a_{1}; portanto a solução deve ser em função de a_{0} e a_{1}, considerando também o caso trivial em que ambos sejam zero.

Passo 2

Entender a recorrência a_{n+2}=a_{n}. Essa relação diz que a sequência (a_n) é periódica de período 2. Vamos deduzir explicitamente os termos pares e ímpares.
Prova por recorrência simples:
  • Para n=0: a_{2}=a_{0}.
  • Para n=1: a_{3}=a_{1}.
  • Repetindo, a_{4}=a_{2}=a_{0}, a_{5}=a_{3}=a_{1}, e assim por diante.
Logo, para todo k\ge0 vale
a_{2k}=a_{0},\qquad a_{2k+1}=a_{1}.
Isto significa que todos os coeficientes pares são iguais a a_{0} e todos os coeficientes ímpares são iguais a a_{1}.

Passo 3

Separar a série original em duas somas: termos de índice par e termos de índice ímpar. Substituindo o que encontramos em termos de a_{0} e a_{1}, obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} =\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k}+\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1}.
Usando a_{2k}=a_{0} e a_{2k+1}=a_{1}, isso fica
f(x)=a_{0}\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}+a_{1}\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da série geométrica. Lembrete: a série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}
converge se, e somente se, |r|<1, e nesse caso vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Aqui usaremos r=x^{2} na primeira soma e r=x^{2} também na segunda soma, lembrando de um fator x extra na segunda:
  • Para a primeira soma:
\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=\sum_{k=0}^{\infty} (x^{2})^{k}=\frac{1}{1-x^{2}}\quad\text{se }|x^{2}|<1.
  • Para a segunda soma:
\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}=x\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=x\cdot\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{x}{1-x^{2}}\quad\text{se }|x^{2}|<1.
Substituindo essas somas em f(x) obtemos, para |x^{2}|<1 (isto é, |x|<1),
f(x)=a_{0}\cdot\frac{1}{1-x^{2}}+a_{1}\cdot\frac{x}{1-x^{2}}=\frac{a_{0}+a_{1}x}{1-x^{2}}.

Passo 5

Determinar o intervalo (ou raio) de convergência.
Pelo uso da série geométrica com r=x^{2} a condição de convergência das duas somas foi |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1 e a série converge pelo menos para |x|<1.
Restam os pontos da fronteira x=\pm1. Para analisar:
  • Em x=1 a série vira \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}. Como a_{n} é periódico de período 2 com valores a_{0},a_{1},a_{0},a_{1},\dots, os termos a_{n} não tendem a 0 salvo o caso a_{0}=a_{1}=0. A condição necessária para convergência de uma série é que os termos individuais tendam a zero; logo, se algum de a_{0},a_{1} for diferente de zero, a série diverge em x=1. Se a_{0}=a_{1}=0 então a série é identicamente zero e converge para todo x.
  • Em x=-1 a série vira \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(-1)^{n}. Os termos têm módulo |a_{n}| e não tendem a zero a menos que a_{0}=a_{1}=0; portanto, novamente, com algum coeficiente não nulo a série diverge em x=-1.
Conclusão sobre os extremos: para uma sequência não trivial (isto é, ao menos um de a_{0},a_{1} não nulo) os pontos x=\pm1 não pertencem ao conjunto de convergência. No caso trivial a_{0}=a_{1}=0 a série é a série zero que converge para todo x.

Passo 6

Resumo final e observações práticas para a prova:
  • A ideia-chave foi usar a periodicidade de período 2 dos coeficientes para separar a série em duas geométricas (pares e ímpares).
  • A fórmula fechada é simples e útil para checar comportamento e singularidades: \dfrac{a_{0}+a_{1}x}{1-x^{2}} tem pólos em x=\pm1, o que corresponde exatamente à perda de convergência na fronteira |x|=1 quando a série não é identicamente zero.
  • Caso prático: se a_{0}=1 e a_{1}=0 então f(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}} em |x|<1. Se a_{0}=0 e a_{1}=1 então f(x)=\dfrac{x}{1-x^{2}} em |x|<1.

Resposta

Intervalo de convergência: |x|<1 (exceto o caso trivial a_{0}=a_{1}=0, em que a série é identicamente zero e converge para todo x).
Fórmula para f(x) (válida para |x|<1): f(x)=\frac{a_{0}+a_{1}x}{1-x^{2}}.

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