Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
f(x)=\frac{1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=\frac{1}{x+2}
em torno de 0 (Maclaurin) e o intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^n,\quad |r|<1.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{1+\frac{x}{2}}.
Para encaixar na forma \frac{1}{1-r}, definimos
r=-\frac{x}{2}.

Passo 3

Pela série geométrica,
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^n.
Logo,
\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{x}{2}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^n},
válido quando
\bigl|-\tfrac{x}{2}\bigr|<1.

Passo 4

Multiplicando por \tfrac12 obtemos a série de f(x):
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}}.
O critério \bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|<1 leva a
|x|<2.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}},\quad |x|<2.}

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