Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
l(x)=\ln (1-x)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências que representa a função
l(x)=\ln(1-x)
e o respectivo intervalo de convergência.
Conteúdo necessário: séries de potências, série geométrica e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos da série geométrica conhecida para \lvert x\rvert<1:
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x, de 0 a x. No lado esquerdo:
\int_{0}^{x} \frac{1}{1 - t}\,dt = -\ln\bigl(1 - x\bigr).
No lado direito, integramos termo a termo (válido para \lvert x\rvert<1):
\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} t^{n}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}.
Logo,
-\ln\bigl(1 - x\bigr) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n},
e portanto
\ln(1 - x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.

Passo 4

O raio de convergência dessa série é R=1, pois a integração termo a termo não altera o raio. Assim, convergência absoluta para \lvert x\rvert<1.

Passo 5

Analisando os extremos:
  • Em x=1: a série vira -\sum_{n=1}^{\infty}1/n, que diverge (harmônica).
  • Em x=-1: a série vira -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},que converge condicionalmente (série alternada) ao valor \ln2.

Resposta

\ln(1 - x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n},
com raio de convergência R=1, i.e.\ convergindo para -1 \le x < 1 (absoluta em \lvert x \rvert < 1, condicional em x=-1, divergente em x=1).

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