Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências que representa a função
e o respectivo intervalo de convergência.
Conteúdo necessário: séries de potências, série geométrica e integração termo a termo.
Conteúdo necessário: séries de potências, série geométrica e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos da série geométrica conhecida para
:
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
, de
a
. No lado esquerdo:
No lado direito, integramos termo a termo (válido para
):
Logo,
e portanto
Passo 4
O raio de convergência dessa série é
, pois a integração termo a termo não altera o raio. Assim, convergência absoluta para
.
Passo 5
Analisando os extremos:
- Em
: a série vira , que diverge (harmônica). - Em
: a série vira que converge condicionalmente (série alternada) ao valor .
Resposta
com raio de convergência
, i.e.\ convergindo para
(absoluta em
, condicional em
, divergente em
).