Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
g(x)=\frac{x^{3}}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para representar
g(x)=\frac{x^{3}}{x+2}
como série de potências centrada em zero e encontrar seu intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n},\quad |r|<1.

Passo 2

Para aplicar a série geométrica, escrevemos
\frac{x^{3}}{x+2} =\frac{x^{3}}{2\bigl(1+\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{x^{3}}{2}\,\frac{1}{1+(-\tfrac{x}{2})} =\frac{x^{3}}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{x}{2}\bigr)^{n},
válido quando |-\,x/2|<1.

Passo 3

Desenvolvendo o produto no somatório, obtemos
\frac{x^{3}}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n}}{2^{n}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+3}}{2^{n+1}}.
Podemos reindexar com m=n+3, de modo que n=m-3 e m vai de 3 até infinito:
\sum_{m=3}^{\infty}(-1)^{m-3}\frac{x^{m}}{2^{\,m-2}}.

Passo 4

O critério de convergência vem de |-\,x/2|<1, ou seja
|x|<2.

Resposta

\frac{x^{3}}{x+2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+3}}{2^{n+1}} =\sum_{m=3}^{\infty}(-1)^{m-3}\frac{x^{m}}{2^{\,m-2}}, \quad |x|<2.

Exercícios relacionados