Mostre que a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} converge absolutamente e uniformemente em em [0, a], a<1. Mostre que a convergência não é uniforme e [0,1]

Passo 1

O problema pede para estudar a série de funções
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^n}
em dois casos de domínio: primeiro em [0,a] com 0\le a<1, mostrando convergência absoluta e uniforme; depois em [0,1], mostrando que não é uniforme. O conteúdo principal que vamos usar é o Teste de Weierstrass (M-teste) para uniformidade e análise de comportamento em x=1.

Passo 2

Para x\in[0,a] com a<1 temos
0 \le \frac{x^n}{1+x^n} \le x^n \le a^n.
Como \sum_{n=1}^\infty a^n é uma série geométrica convergente (soma igual a a/(1-a)), podemos aplicar o M-teste: escolhemos M_n = a^n, com \sum M_n<\infty. Assim \sum \frac{x^n}{1+x^n} converge uniformemente em [0,a].

Passo 3

Além disso, cada termo \frac{x^n}{1+x^n} é não-negativo, então a série de valores absolutos
\sum_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{x^n}{1+x^n}\Bigr| =\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{1+x^n}
tem exatamente o mesmo critério de convergência, logo a convergência é absoluta em [0,a].

Passo 4

Agora em [0,1], observe x=1. Para x=1 cada termo é
\frac{1^n}{1+1^n}=\frac12,
portanto a soma parcial
S_N(1)=\sum_{n=1}^N\frac12 = \frac N2
tende a +\infty. Logo a série não converge em x=1, e muito menos uniformemente em [0,1] (pois uniformidade exigiria convergência para todo ponto do intervalo).

Resposta

A série converge absolutamente e uniformemente em [0,a] para todo a<1, mas não converge uniformemente em [0,1].

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