A variação na quantidade de duas substâncias x e y que participam de uma certa reação química pode ser descrita pelo sistema de equações
\begin{aligned} & x^{\prime}=-3 x+\alpha y \\\ & y^{\prime}=\beta x-2 y \end{aligned}
com x(0)=y(0)=1, onde \alpha e \beta são parâmetros que dependem das condições da reação (temperatura, humidade, etc.) Há valores de \alpha e \beta para os quais as quantidades x e y se comportem de forma periódica?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de primeira ordem que descreve a evolução de duas concentrações x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} x' = -3x + \alpha\,y,\\\ y' = \beta\,x - 2y, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=1\], \(y(0)=1. Os parâmetros \alpha e \beta variam conforme as condições da reação. Queremos saber se existem valores de \alpha e \beta que façam x(t) e y(t) se comportarem de forma periódica. Para isso vamos usar teoria de sistemas lineares: analisar autovalores da matriz de coeficientes e ver quando eles são puramente imaginários (o que caracteriza um centro e dá órbitas periódicas).

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial \mathbf{u}' = A\,\mathbf{u}, com \mathbf{u} = \bigl(x,y\bigr)^T e
A = \begin{pmatrix} -3 & \alpha\\\ \beta & -2 \end{pmatrix}.
Os autovalores \lambda de A vêm da equação característica
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}-3-\lambda & \alpha\\\ \beta & -2-\lambda\end{pmatrix} = 0.
Computando o determinante, obtemos
(-3-\lambda)(-2-\lambda) - \alpha\beta = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 + 5\lambda + (6 - \alpha\beta) = 0.

Passo 3

As raízes dessa equação quadrática são
\lambda = \frac{-5 \pm \sqrt{\,25 - 4(6 - \alpha\beta)\,}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1 + 4\alpha\beta}}{2}.
Para que o sistema tenha soluções periódicas (órbitas fechadas), ele deve ser um centro, isto é, os dois autovalores precisam ser puramente imaginários e conjugados. Isso exige duas condições:
  1. A parte real de \lambda seja zero \Rightarrow \mathrm{tr}(A)=0.
  2. O discriminante seja negativo \Rightarrow 1+4\alpha\beta<0 (para termos conjugados imaginários).

Passo 4

No nosso caso a traça de A é
\mathrm{tr}(A) = -3 + (-2) = -5.
Isso não depende de \alpha nem de \beta e é sempre diferente de zero. Como a soma dos autovalores é -5, a parte real de cada autovalor é -5/2 e nunca pode ser zero. Logo não há como obter autovalores puramente imaginários, independentemente de \alpha e \beta.

Resposta

Não existem valores de \alpha e \beta que tornem o sistema periódico, pois a traça da matriz é -5\neq0 e, portanto, não há autovalores puramente imaginários.

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