A variação na quantidade de duas substâncias
e
que participam de uma certa reação química pode ser descrita pelo sistema de equações
com
, onde
e
são parâmetros que dependem das condições da reação (temperatura, humidade, etc.) Há valores de
e
para os quais as quantidades
e
se comportem de forma periódica?
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear de primeira ordem que descreve a evolução de duas concentrações
com condições iniciais
. Os parâmetros
e
variam conforme as condições da reação. Queremos saber se existem valores de
e
que façam
e
se comportarem de forma periódica. Para isso vamos usar teoria de sistemas lineares: analisar autovalores da matriz de coeficientes e ver quando eles são puramente imaginários (o que caracteriza um centro e dá órbitas periódicas).
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma vetorial
, com
e
Os autovalores
de
vêm da equação característica
Computando o determinante, obtemos
Passo 3
As raízes dessa equação quadrática são
Para que o sistema tenha soluções periódicas (órbitas fechadas), ele deve ser um centro, isto é, os dois autovalores precisam ser puramente imaginários e conjugados. Isso exige duas condições:
- A parte real de
seja zero . - O discriminante seja negativo
(para termos conjugados imaginários).
Passo 4
No nosso caso a traça de
é
Isso não depende de
nem de
e é sempre diferente de zero. Como a soma dos autovalores é
, a parte real de cada autovalor é
e nunca pode ser zero. Logo não há como obter autovalores puramente imaginários, independentemente de
e
.
Resposta
Não existem valores de
e
que tornem o sistema periódico, pois a traça da matriz é
e, portanto, não há autovalores puramente imaginários.