Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
h(x)=\frac{1}{(1+x)^{4}}.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
h(x)=\frac{1}{(1+x)^{4}}
em torno de x=0, ou seja, escrever h(x) como
\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
e determinar o intervalo de convergência. O conteúdo usado será o Teorema do Binômio para expoentes gerais (no caso, \alpha=-4).

Passo 2

O Teorema do Binômio diz que, para \alpha\in\mathbb{R} e |x|<1,
(1+x)^{\alpha} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n,
onde
\binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Passo 3

Aqui \alpha=-4. Então
\binom{-4}{n} =\frac{(-4)(-5)\cdots(-4-n+1)}{n!} =\frac{(-1)^n\,4\cdot5\cdots(n+3)}{n!} =\frac{(-1)^n\,(n+3)!}{3!\,n!} =(-1)^n\binom{n+3}{3}.

Passo 4

Substituindo em (1+x)^{-4} vem
\frac{1}{(1+x)^{4}} =(1+x)^{-4} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\binom{n+3}{3}\,x^n.

Passo 5

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}\binom{n+4}{3}} {(-1)^n\binom{n+3}{3}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+4}{1}=1.
Logo a série converge se e somente se |x|<1.

Resposta

\frac{1}{(1+x)^{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\binom{n+3}{3}\,x^n, \quad |x|<1.

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