Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
r(x)=\sqrt{1+x}

Passo 1

O enunciado pede a série de potências (Maclaurin) de r(x)=\sqrt{1+x} e seu intervalo de convergência. Vamos usar o binômio de Newton para expoentes não inteiros, que diz que, para \alpha\in\mathbb{R},
(1+x)^{\alpha} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n,
onde
\binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Passo 2

Aplicando o caso \alpha=\tfrac12, obtemos
\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\tfrac12}{n}x^n \quad\text{com}\quad \binom{\tfrac12}{n} =\frac{\tfrac12(\tfrac12-1)\cdots(\tfrac12-n+1)}{n!}.
Podemos escrever explicitamente
\binom{\tfrac12}{n} =\frac{\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(\tfrac12-k\bigr)}{n!},
de modo que a série fica
\sqrt{1+x} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\bigl(\tfrac12\bigr)\bigl(\tfrac12-1\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-n+1\bigr)}{n!}\,x^n.

Passo 3

Para achar o raio de convergência R, usemos o teste da razão. Denotando
a_n=\binom{\tfrac12}{n}x^n,
temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\;\Bigl|\frac{\binom{\tfrac12}{n+1}}{\binom{\tfrac12}{n}}\Bigr| =|x|\;\Bigl|\frac{\tfrac12 - n}{n+1}\Bigr| \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;|x|\cdot1.
Para convergência, requeremos |x|<1. Logo, o raio é R=1.

Passo 4

Faltam os extremos:
  • Em x=1, os termos gerais valem \binom{1/2}{n}. Para n\gg1, \binom{1/2}{n}=O(n^{-3/2}), logo a série converge (p-série com p=3/2>1).
  • Em x=-1, os termos são \binom{1/2}{n}(-1)^n, de mesma ordem O(n^{-3/2}), também convergente absolutamente.
Portanto, a série converge para -1\le x\le1.

Resposta

\sqrt{1+x} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\tfrac12}{n}\,x^n \quad\text{com}\quad \binom{\tfrac12}{n} =\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)\bigl(\tfrac12-1\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-n+1\bigr)}{n!},
intervalo de convergência: -1\le x\le1.

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