Desenvolva \log _{3}\left(\frac{a^{3} b^{2}}{c^{4}}\right) ( a, b e c são constantes positivas).

Passo 1

O enunciado pede para expandir o logaritmo
\log_{3}\!\biggl(\frac{a^{3}b^{2}}{c^{4}}\biggr)
utilizando as propriedades de logaritmos: quociente, produto e potência.

Passo 2

Aplicar a propriedade do quociente:
\log_{3}\!\bigl(\tfrac{X}{Y}\bigr)=\log_{3}(X)-\log_{3}(Y)
\log_{3}\!\biggl(\frac{a^{3}b^{2}}{c^{4}}\biggr) =\log_{3}(a^{3}b^{2})-\log_{3}(c^{4}).

Passo 3

Aplicar a propriedade do produto:
\log_{3}(XY)=\log_{3}(X)+\log_{3}(Y)
\log_{3}(a^{3}b^{2})-\log_{3}(c^{4}) =\log_{3}(a^{3})+\log_{3}(b^{2})-\log_{3}(c^{4}).

Passo 4

Aplicar a propriedade da potência:
\log_{3}(X^{k})=k\,\log_{3}(X)
\log_{3}(a^{3})+\log_{3}(b^{2})-\log_{3}(c^{4}) =3\,\log_{3}(a)+2\,\log_{3}(b)-4\,\log_{3}\text{(c)}.

Resposta

3\,\log_{3}(a)+2\,\log_{3}(b)-4\,\log_{3}\text{(c)}

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