Determine o valor de x em 9^{x}=\frac{1}{27}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de x que satisfaz a equação exponencial
9^{x} = \frac{1}{27}.
O conteúdo envolvido é resolução de equações exponenciais usando propriedades de potências e mudanças de base.

Passo 2

Observamos que tanto 9 quanto 27 são potências de 3. De fato,
9 = 3^{2} \quad\text{e}\quad 27 = 3^{3}.
Substituindo na equação original, obtemos
(3^{2})^{x} = \frac{1}{3^{3}}.

Passo 3

Usamos a propriedade de potências (a^{b})^{c} = a^{b c} no lado esquerdo e escrevemos \tfrac{1}{3^{3}} = 3^{-3} no lado direito. Assim,
3^{2x} = 3^{-3}.
Como a função exponencial de base 3 é injetora, igualamos os expoentes:
2x = -3.

Passo 4

Isolamos x dividindo ambos os lados por 2:
x = -\frac{3}{2}.

Resposta

x = -\frac{3}{2}.

Exercícios relacionados