Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
s(x)=\operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede a série de potências centrada em zero para s(x)=\arctan x. Para isso vamos usar a expansão em série geométrica de \frac{1}{1+t^2} e depois integrar termo a termo de 0 até x.

Passo 2

Começamos com a identidade da série geométrica válida para \lvert u\rvert<1:
\frac{1}{1+u} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,u^n.
Aqui fazemos u=t^2, obtendo para \lvert t\rvert<1:
\frac{1}{1+t^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,t^{2n}.

Passo 3

Integramos ambos os lados de t=0 até t=x. Como \arctan x=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}\,dt, temos
\arctan x =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 4

A série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} converge para \lvert x\rvert<1 por convergência absoluta (série geométrica). Nos pontos x=\pm1 temos séries alternadas que convergem condicionalmente (pelo Critério de Leibniz). Logo o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
-1\le x\le1.

Resposta

\boxed{\arctan x \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad\text{com intervalo de convergência }-1\le x\le1.}ê

Exercícios relacionados