Calcule o valor de 8^{\log _{2} 5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
8^{\log_{2}5}
Isso envolve propriedades de logaritmos e potências, em especial a relação entre potências de mesma base e a regra
(a^{b})^{c}=a^{b\,c}
e a identidade
a^{\log_{a}x}=x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a base 8 como potência de 2, pois o logaritmo é na base 2:
8 = 2^3.

Passo 3

Substituindo na expressão original e usando a regra de potência de potência, temos
8^{\log_{2}5} = (2^3)^{\log_{2}5} = 2^{3\,\log_{2}5}.

Passo 4

Agora utilizamos que
3\,\log_{2}5 = \log_{2}(5^3)
e a identidade a^{\log_{a}x}=x. Logo,
2^{3\,\log_{2}5} = 2^{\log_{2}(5^3)} = 5^3 = 125.

Resposta

125

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