Determine a curvatura da curva no ponto .
Justifique suas respostas.
Cada questão vale dois pontos, porém a prova vale (dez pontos). Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe.
Abra seu coração 000 .
Boa prova.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a curvatura da curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura de uma curva no espaço tridimensional. Precisaremos calcular as derivadas da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos igualar cada componente da função a 1:
Vemos que satisfaz todas as equações, então vamos calcular as derivadas nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada :
No ponto :
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada :
No ponto :
Passo 5
A fórmula da curvatura de uma curva no espaço é dada por:
Isso significa que precisamos calcular o produto vetorial das derivadas primeira e segunda, a norma desse produto, e a norma da primeira derivada ao cubo.