Determine a curvatura da curva r(t)=(t, t^2, t^3) no ponto (1,1,1).
Justifique suas respostas.
Cada questão vale dois pontos, porém a prova vale 10, theta (dez pontos). Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe.
Abra seu coração 000 .
Boa prova.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a curvatura da curva r(t) = (t, t^2, t^3) no ponto (1,1,1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura de uma curva no espaço tridimensional. Precisaremos calcular as derivadas da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de t que corresponde ao ponto (1,1,1). Vamos igualar cada componente da função r(t) a 1:
t = 1 t^2 = 1 t^3 = 1
Vemos que t = 1 satisfaz todas as equações, então vamos calcular as derivadas nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada r'(t):
r'(t) = ( ddtt, ddtt^2, ddtt^3 ) = (1, 2t, 3t^2)
No ponto t = 1:
r'(1) = (1, 2 cdot 1, 3 cdot 1^2) = (1, 2, 3)

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada r''(t):
r''(t) = ( ddt1, ddt2t, ddt3t^2 ) = (0, 2, 6t)
No ponto t = 1:
r''(1) = (0, 2, 6 cdot 1) = (0, 2, 6)

Passo 5

A fórmula da curvatura kappa de uma curva no espaço é dada por:
kappa = ||r'(t) times r''(t)||||r'(t)||^3
Isso significa que precisamos calcular o produto vetorial das derivadas primeira e segunda, a norma desse produto, e a norma da primeira derivada ao cubo.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto vetorial r'(1) times r''(1):
r'(1) times r''(1) = i & j & k 1 & 2 & 3 0 & 2 & 6 = i(2 cdot 6 - 3 cdot 2) - j(1 cdot 6 - 3 cdot 0) + k(1 cdot 2 - 2 cdot 0) = 6i - 6j + 2k

Passo 7

Agora, calculamos a norma do produto vetorial:
||r'(1) times r''(1)|| = raiz6^2 + (-6)^2 + 2^2 = raiz36 + 36 + 4 = raiz76 = 2raiz19

Passo 8

Em seguida, calculamos a norma da primeira derivada ao cubo:
||r'(1)|| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14
||r'(1)||^3 = (raiz14)^3 = 14raiz14

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:
kappa = 2raiz1914raiz14 = raiz197raiz14
Podemos racionalizar a expressão multiplicando numerador e denominador por raiz14:
kappa = raiz19 cdot raiz147 cdot 14 = raiz26698

Resposta

A curvatura da curva r(t) = (t, t^2, t^3) no ponto (1,1,1) é kappa = raiz26698.

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