Ache o simétrico do ponto (1,2,-1) em relação ao plano x+2 y-3 z=1

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar o simétrico do ponto (1,2,-1) em relação ao plano x+2y-3z=1. O conteúdo é geometria analítica de reflexão de ponto em plano e vamos usar a projeção ortogonal, isto é, identificar o pé da perpendicular e a partir dele obter o ponto espelhado.

Passo 2

Reescrevendo a equação do plano em forma ax+by+cz+d=0:
x+2y-3z-1=0,
assim a=1, b=2, c=-3, d=-1. O vetor normal é n=(1,2,-3). O pé da perpendicular H é dado por
H = P - \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a^2 + b^2 + c^2}\,n.
Substituindo P=(1,2,-1):
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d =1\cdot1 +2\cdot2 +(-3)\cdot(-1) +(-1) =7,
e a^2+b^2+c^2=1+4+9=14. Logo
H = (1,2,-1) - \frac{7}{14}(1,2,-3) = (1,2,-1) - \bigl(\tfrac12,1,-\tfrac32\bigr) = \bigl(\tfrac12,1,\tfrac12\bigr).

Passo 3

O simétrico P' satisfaz
P' = 2H - P.
Então
P' =2\bigl(\tfrac12,1,\tfrac12\bigr) - (1,2,-1) = (1,2,1) - (1,2,-1) = (0,0,2).

Resposta

(0,0,2)

Exercícios relacionados