Determine a interseção do plano \pi_{1}: x-y=1-3 z com o plano \pi_{2}: 6 z-2 y=2-2 x.

Passo 1

O enunciado pede a interseção de dois planos em \mathbb{R}^3:
\pi_{1}:\;x - y = 1 - 3z e
\pi_{2}:\;6z - 2y = 2 - 2x.
O conteúdo aqui é resolver o sistema linear formado por essas duas equações para ver qual é o conjunto de pontos que satisfaz ambas.

Passo 2

Vamos escrever cada plano em forma padrão Ax+By+Cz=D.
Para \pi_{1}:
x - y = 1 - 3z
\implies x - y + 3z = 1.
Para \pi_{2}:
6z - 2y = 2 - 2x
\implies 2x + 6z - 2y = 2
\implies x - y + 3z = 1
(dividindo tudo por 2).

Passo 3

Os dois planos têm exatamente a mesma equação em forma padrão, isto é, eles coincidem. Logo, a interseção \pi_{1}\cap\pi_{2} é o próprio plano
x - y + 3z = 1.

Resposta

\displaystyle \pi_{1}\cap \pi_{2} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - y + 3z = 1\}.
Uma forma paramétrica é
(x,y,z) = (1 + u - 3v,\;u,\;v),\qquad u,v\in\mathbb{R}.

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