Determinar a área do paralelogramo construído sobre \vec{u} e \vec{v}, cujas diagonais são:
\vec{u}+\vec{v}=(0,3,5)_{E} \text { e } \vec{u}-\vec{v}=(2,1,1)_{E}

Passo 1

O enunciado dá as diagonais de um paralelogramo como \vec{u}+\vec{v}=(0,3,5)_{E} e \vec{u}-\vec{v}=(2,1,1)_{E}. Queremos a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}, que é dada por \|\vec{u}\times\vec{v}\|.

Passo 2

Para achar \vec{u} e \vec{v}, somamos e subtraímos as expressões:
\vec{u} =\frac{(\vec{u}+\vec{v})+(\vec{u}-\vec{v})}{2} =\frac{(0,3,5)+(2,1,1)}{2} =(1,2,3),
\vec{v} =\frac{(\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}-\vec{v})}{2} =\frac{(0,3,5)-(2,1,1)}{2} =(-1,1,2).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2&3\\\\ -1&1&2 \end{vmatrix} =(2\cdot2-3\cdot1)\,\mathbf{i} -(1\cdot2-3\cdot(-1))\,\mathbf{j} +(1\cdot1-2\cdot(-1))\,\mathbf{k} =(1,-5,3).

Passo 4

A norma desse vetor é
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}+3^{2}} =\sqrt{1+25+9} =\sqrt{35}.

Resposta

\sqrt{35}

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