Elabore e resolva uma questão que envolva o conceito de hipérbole.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação reduzida da hipérbole que tem centro na origem, focos em F_1(-5,0) e F_2(5,0) e cujo eixo transverso mede 8 unidades. Vamos usar a definição de hipérbole pela diferença de distâncias aos focos e a forma canônica
\frac{x^2}{a^2} \;-\;\frac{y^2}{b^2} \;=\;1.

Passo 2

Para uma hipérbole, a distância do centro a cada foco é c. Como os focos estão em \pm5 no eixo x, temos
c = 5.
O eixo transverso mede 2a, e foi dado 2a = 8, logo
a = 4.

Passo 3

Na hipérbole vale a relação
c^2 = a^2 + b^2.
Substituindo c=5 e a=4, obtemos
b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9,
portanto
b = 3.

Passo 4

Agora escrevemos a equação canônica substituindo a^2=16 e b^2=9:
\frac{x^2}{16} \;-\;\frac{y^2}{9} \;=\;1.

Passo 5

A partir dessa forma podemos identificar também
– vértices: (\pm a,0) = (\pm4,0),
– focos: (\pm c,0) = (\pm5,0),
– assíntotas:
y = \pm \frac{b}{a}\,x = \pm \frac{3}{4}\,x.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.
Centro: (0,0)
Vértices: (4,0) e (-4,0)
Focos: (5,0) e (-5,0)
Assíntotas: y = \tfrac{3}{4}x e y = -\tfrac{3}{4}x

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