Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução geral estå definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
e o maior intervalo em que essa solução está definida. O conteúdo é resolução de ODE linear ou separável, e vamos usar separação de variáveis.
Passo 2
Para usar separação de variáveis, escrevemos
de modo a isolar de um lado e do outro.
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a . No lado esquerdo trocamos a ordem de integração via :
Passo 4
As integrais dão
onde C é constante de integração.
Passo 5
Exponentiando, obtemos
l|yr| = e^5x+C = e^C,e^5x
Chamando A=e^C>0 e permitindo sinal negativo em y, escrevemos
y(x) = C,e^5x,
onde agora CinR é a constante geral.
Passo 6
O fator e^5x nunca zera para xinR, e a solução trivial yequiv0 também está incluída em C,e^5x quando C=0. Logo a família de soluções está definida para todo xin(-infty,infty).