Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
d yd x=5 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx=5y
e o maior intervalo I em que essa solução está definida. O conteúdo é resolução de ODE linear ou separável, e vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Para usar separação de variáveis, escrevemos
1y,dydx=5
de modo a isolar y de um lado e x do outro.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo trocamos a ordem de integração via dy:
integral 1y,dy = integral 5,dx

Passo 4

As integrais dão
lnl|yr| = 5x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Exponentiando, obtemos
l|yr| = e^5x+C = e^C,e^5x
Chamando A=e^C>0 e permitindo sinal negativo em y, escrevemos
y(x) = C,e^5x,
onde agora CinR é a constante geral.

Passo 6

O fator e^5x nunca zera para xinR, e a solução trivial yequiv0 também está incluída em C,e^5x quando C=0. Logo a família de soluções está definida para todo xin(-infty,infty).

Resposta

A solução geral é
y(x)=C,e^5x, CinR,
e o maior intervalo de definição é
I = (-infty,infty)

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