Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução geral estå definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma equação linear de primeira ordem e homogênea. Para resolver, podemos usar separação de variáveis (ou o método geral para equações lineares homogêneas).
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando :
Passo 3
Fazemos a separação de variáveis, colocando os de um lado e do outro:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
o que dá
onde C1 é constante de integração.
Passo 5
Exponentiando para achar y:
l|yr| = e^-2x + C1 = e^C1,e^-2x
Definindo C = pm e^C1, obtemos a forma geral
y = C,e^-2x,
com CinR.
Passo 6
Como a função exponencial e^-2x e a constante C são definidas para todo xinR, a solução geral está válida em todo o eixo real.