Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
2 d yd x+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydx + 2y = 0
que é uma equação linear de primeira ordem e homogênea. Para resolver, podemos usar separação de variáveis (ou o método geral para equações lineares homogêneas).

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando dy/dx:
dydx = -2y

Passo 3

Fazemos a separação de variáveis, colocando os y de um lado e x do outro:
1y,dy = -2,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral -2,dx
o que dá
lnl|yr| = -2x + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 5

Exponentiando para achar y:
l|yr| = e^-2x + C1 = e^C1,e^-2x
Definindo C = pm e^C1, obtemos a forma geral
y = C,e^-2x,
com CinR.

Passo 6

Como a função exponencial e^-2x e a constante C são definidas para todo xinR, a solução geral está válida em todo o eixo real.

Resposta

A solução geral é
y = C,e^-2x, CinR,
e o maior intervalo de definição é
I = (-infty,infty)

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