Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
4 3 d yd x+12 y=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes
3,dydx + 12,y = 4
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear via fator integrante. Vamos reescrever em forma padrão e depois aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por 3 para chegar à forma
dydx + 4,y = 43
Neste padrão, P(x)=4 e Q(x)=4/3.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 4,dx = e^4x
Multiplicando a equação padrão por mu(x) temos
e^4x,dydx + 4,e^4x,y = 43,e^4x,
que reconhecemos como a derivada do produto
ddxl(y,e^4xr) = 43,e^4x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^4x = integral 43,e^4x,dx + C
Fazendo a integral do lado direito,
integral 43,e^4x,dx = 43cdot14,e^4x = 13,e^4x
Logo
y,e^4x = 13,e^4x + C

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^4x:
y(x) = 13 + C,e^-4x,
onde C é a constante arbitrária da solução geral.

Passo 6

Como os coeficientes da EDO ( P(x)=4 e Q(x)=4/3) são contínuos para todo xinR, o maior intervalo de definição da solução geral é
I = (-infty,infty)

Resposta

y(x) = 13 + C,e^-4x, I = (-infty,infty)

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