Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
6 y^prime+2 x y=x^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
6,y' + 2x,y = x^3
e o maior intervalo I onde ela está definida. Isso é um caso de equação de primeira ordem linear no formato
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por 6:
y' + 2x6,y = x^36,
ou seja
y' + x3,y = x^36

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral tfracx3,dxr) = expl(x^26r)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo vira a derivada do produto mu(x),y:
l(y,e^x^2/6r)' = x^36,e^x^2/6

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
y,e^x^2/6 = integral x^36,e^x^2/6,dx + C
Para calcular a integral, fazemos u = tfracx^26, logo du = tfracx3,dx e x^3,dx = 18,u,du. Então
integral x^36,e^u,dx = integral 3,u,e^u,du = 3l(u e^u - e^ur) + C = 3,e^ul(u-1r)+C

Passo 6

Voltando a u=tfracx^26, obtemos
y,e^x^2/6 = 3,e^x^2/6l(x^26-1r) + C
e, dividindo por e^x^2/6,
y(x) = 3l(x^26-1r) + C,e^-x^2/6 = x^22-3 + C,e^-x^2/6

Passo 7

As funções P(x)=x/3 e Q(x)=x^3/6 são contínuas para todo xinR. Logo a solução geral está definida no maior intervalo
I = (-infty,infty)

Resposta

A solução geral é
y(x) = x^22-3 + C,e^-x^2/6,
e o maior intervalo de definição é
I = (-infty,infty)

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