Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
10 x d yd x+2 y=3

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
10,xdydx + 2,y = 3
e determinar o maior intervalo I onde essa solução está definida. O conteúdo aqui é equação linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão tfracdydx + P(x),y = Q(x). Dividindo tudo por 10x (supondo xneq0), obtemos
dydx + 210x,y = 310x ;;Longrightarrow;; dydx + 15x,y = 310x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!gl(integral 15x,dxgr) = exp!l(tfrac15ln|x|r) = |x|^1/5
Multiplicando a equação original por mu(x), o lado esquerdo vira derivada de mu(x),y.

Passo 4

Depois de multiplicar, temos
ddxl(|x|^1/5,yr) = |x|^1/5,310x = 310,|x|^1/5-1
Integramos em x:
|x|^1/5,y = integral 310,|x|^-4/5,dx + C = 310cdot|x|^1/51/5 + C = 32,|x|^1/5 + C
Logo
y = 32,|x|^1/5 + C|x|^1/5 = 32 + C,|x|^-1/5
Como C é constante arbitrária, podemos reescrever C,|x|^-1/5 apenas como C,x^-1/5 em cada ramo de sinal fixo de x.

Passo 5

O coeficiente P(x)=1/(5x) é singular em x=0, logo a solução geral só existe em intervalos que não contenham 0. Os maiores intervalos conexos são
(-infty,0) e (0,infty)
Em cada um deles escolhemos a forma
y(x) = 32 + C,x^-1/5

Resposta

A solução geral é
y(x) = 32 + C,x^-1/5,
e ela está definida em qualquer intervalo que não atravesse x=0, isto é, num dos intervalos (-infty,0) ou (0,infty).

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