Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
20 (x+2)^2 d yd x=5-8 y-4 x y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
(x+2)^2dydx=5-8y-4xy
e o maior intervalo I em que essa solução está definida. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem, que será resolvida por fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo por (x+2)^2, obtemos
dydx+4x+8(x+2)^2,y=5(x+2)^2
Note que P(x)=4x+8(x+2)^2=4x+2 e Q(x)=5(x+2)^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr) =exp!l(integral4x+2,dxr) =expl(4ln|x+2|r) =(x+2)^4

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
(x+2)^4dydx+4(x+2)^3y =5(x+2)^4(x+2)^2 =5(x+2)^2
O lado esquerdo é ddxl((x+2)^4yr), logo
ddxl((x+2)^4yr)=5(x+2)^2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
(x+2)^4y =integral 5(x+2)^2,dx =5cdot(x+2)^33+C =53(x+2)^3+C
Assim a solução geral é
y(x) =53(x+2)^3+C(x+2)^4 =53(x+2)+C(x+2)^4

Passo 6

A solução é válida onde mu(x)neq0, isto é, x+2neq0. Portanto o maior intervalo de definição é qualquer intervalo que não contenha x=-2, tipicamente
I=(-infty,-2)ou I=(-2,infty)

Resposta

y(x)=53(x+2)+C(x+2)^4,
com I=(-infty,-2) ou I=(-2,infty).

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