Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
21 d rd theta+r sec theta=cos theta

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear em r(theta):
drdtheta + rsectheta = costheta
O conteúdo é o método do fator integrante para equações lineares da forma
drdtheta + P(theta),r = Q(theta)
Aqui temos P(theta)=sectheta e Q(theta)=costheta.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(theta)=expl(integral P(theta),dthetar) =expl(integral sectheta,dthetar)
Sabemos que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta+tanthetar| + C,
logo, escolhendo a constante tal que mu>0,
mu(theta)=sectheta+tantheta

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(theta). Como
mu(theta),drdtheta + mu(theta),sectheta,r =ddthetal[mu(theta),r(theta)r],
ficamos com
ddthetal[(sectheta+tantheta),r(theta)r] =(sectheta+tantheta)costheta

Passo 4

Simplificamos o lado direito e integramos:
(sectheta+tantheta)costheta =1+sintheta,
então
ddthetal[(sectheta+tantheta),r(theta)r] =1+sintheta Longrightarrow (sectheta+tantheta),r(theta) =integral(1+sintheta),dtheta =theta -costheta + C

Passo 5

Isolando r(theta), obtemos a solução geral
r(theta) =theta - costheta + Csectheta + tantheta

Passo 6

Para que tudo faça sentido precisamos de sectheta e tantheta contínuos, isto é, costhetaneq0. Os pontos de singularidade são theta=tfracpi2+kpi. O maior intervalo conectado em que costhetaneq0 e que contém a origem, por exemplo, é
I = l(-tfracpi2,,tfracpi2r),
mas, de modo geral, a solução vale em qualquer intervalo
l(kpi-tfracpi2,,kpi+tfracpi2r), kin Z.

Resposta

r(theta)=theta - costheta + Csectheta + tantheta,
com Cin R, definida em cada intervalo
l(kpi-tfracpi2,,kpi+tfracpi2r), kin Z.

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