Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral estå definida.
24 (x^2-1) d yd x+2 y=(x+1)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(x^2-1),dydx+2y=(x+1)^2,
que é uma equação diferencial de primeira ordem linear em y. Para colocá-la na forma padrão, dividimos por x^2-1 (supondo xneqpm1):
dydx+2x^2-1,y=(x+1)^2x^2-1

Passo 2

Vamos calcular o fator integrante
mu(x)=expl(integral2x^2-1,dxr)
Fazendo frações parciais:
2x^2-1=1x-1-1x+1,
então
integral2x^2-1,dx =lnlvert x-1rvert-lnlvert x+1rvert =lnllvertx-1x+1rrvert
Escolhendo a forma sem valor absoluto (absorvendo sinais em constante), temos
mu(x)=x-1x+1

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
x-1x+1,dydx+2x^2-1,x-1x+1,y =x-1x+1,(x+1)^2x^2-1
O lado esquerdo é agora a derivada do produto:
ddxl[x-1x+1,yr]
e o lado direito se simplifica a
x-1x+1cdot(x+1)^2(x-1)(x+1)=1
Logo
ddxl[x-1x+1,yr]=1

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
x-1x+1,y = integral 1,dx = x + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
y = x+1,x-1,,(x+C)

Passo 5

A solução geral é
y(x)=(x+1)(x+C)x-1,
válida sempre que xneqpm1. As funções envolvidas são contínuas em cada intervalo em que x^2-1neq0. Os maiores intervalos de definição (domínios máximos de continuidade) são
(-infty,-1),(-1,1)e(1,infty)

Resposta

A solução geral é
y(x)=(x+1)(x+C)x-1,
e ela está definida em cada intervalo em que xneqpm1, isto é, em (-infty,-1), (-1,1) ou (1,infty).

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