Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução geral estå definida.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
que é uma equação diferencial de primeira ordem linear em . Para colocá-la na forma padrão, dividimos por (supondo ):
Passo 2
Vamos calcular o fator integrante
Fazendo frações parciais:
então
Escolhendo a forma sem valor absoluto (absorvendo sinais em constante), temos
mu(x)=x-1x+1
Passo 3
Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
x-1x+1,dydx+2x^2-1,x-1x+1,y =x-1x+1,(x+1)^2x^2-1
O lado esquerdo é agora a derivada do produto:
ddxl[x-1x+1,yr]
e o lado direito se simplifica a
x-1x+1cdot(x+1)^2(x-1)(x+1)=1
Logo
ddxl[x-1x+1,yr]=1
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a x:
x-1x+1,y = integral 1,dx = x + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
y = x+1,x-1,,(x+C)
Passo 5
A solução geral é
y(x)=(x+1)(x+C)x-1,
válida sempre que xneqpm1. As funções envolvidas são contínuas em cada intervalo em que x^2-1neq0. Os maiores intervalos de definição (domínios máximos de continuidade) são
(-infty,-1),(-1,1)e(1,infty)
Resposta
A solução geral é
y(x)=(x+1)(x+C)x-1,
e ela está definida em cada intervalo em que xneqpm1, isto é, em (-infty,-1), (-1,1) ou (1,infty).