Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial
usando série de potências centrada em
. O conteúdo aqui é método de série de potências: vamos supor que
é uma soma de termos
e determinar uma relação de recorrência para os
.
Passo 2
Assumimos a solução da forma
Então
y’
y’
e
y’’
Passo 3
Substituímos essas séries em
ficando
$$\sum_{n=0}{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}xn
a{}+2\sum_{n=0}{\infty}(n+1)a_{n+1}x{n+1}
a{}+4\sum_{n=0}{\infty}a_nxn=0.
(n+2)(n+1)a_{n+2}+(2n+4)a_n=0.$$
Isto dá a relação de recorrência
Passo 4
Separemos as duas séries independentes escolhendo
e
. Para índices pares (
):
Para índices ímpares (
Passo 5
Escrevemos então a solução geral como combinação linear das séries par e ímpar:
Resposta
A solução geral é
ou de forma compacta
com constantes arbitrárias
e
.