Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
y^prime prime+2 x y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial y''+2xy'+4y=0usando série de potências centrada em x0=0. O conteúdo aqui é método de série de potências: vamos supor que y é uma soma de termos anx^n e determinar uma relação de recorrência para os an.

Passo 2

Assumimos a solução da forma
y(x)= sumn=0^inftyanx^n
Então
y’
=sumn=1^inftyn,anx^n-1=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
e
y’’
=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituímos essas séries em
y''+2xy'+4y=0
ficando
$$\sum_{n=0}{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}xn
a{}+2\sum_{n=0}{\infty}(n+1)a_{n+1}x{n+1}
a{}+4\sum_{n=0}{\infty}a_nxn=0. sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n a+2sumn=0^infty(n+1)an+1x^n+1 a+4sumn=0^inftyanx^n=0óê(n+2)(n+1)a_{n+2}+(2n+4)a_n=0.$$
Isto dá a relação de recorrência
x^n

Passo 4

Separemos as duas séries independentes escolhendo a0=C1 e a1=C2. Para índices pares ( n=2k):
a2(k+1)=-22k+1a2k implies a2k=(-1)^k2^k(2k-1)!!C1
Para índices ímpares ( n=2k+1):
a2(k+1)+1=-22k+2a2k+1 implies a2k+1=(-1)^k1k!C2

Passo 5

Escrevemos então a solução geral como combinação linear das séries par e ímpar:
y(x)=C1sumk=0^infty(-1)^k2^k(2k-1)!!x^2k+C2sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1k!

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1l(1-2x^2+tfrac43x^4-tfrac815x^6+cdotsr)+C2l(x-x^3+tfracx^52-tfracx^76+cdotsr),
ou de forma compacta
y(x)=C1sumk=0^infty(-1)^k2^k(2k-1)!!x^2k+C2sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1k!,
com constantes arbitrárias C1 e C2.

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