Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por x=cos^3 t, y=sin^3 t no intervalo t∈[0,π/2]. O conteúdo usado é comprimento de curva no plano com parâmetro t, e vamos precisar da fórmula
L=integrala^braizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 2

Calcular as derivadas de x e y em relação a t usando regra da cadeia:
dxdt=ddt(cos^3t)=-3cos^2tsin t,
dydt=ddt(sin^3t)=3sin^2tcos t

Passo 3

Formar o integrando e simplificar:
raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =raiz9cos^4tsin^2t+9sin^4tcos^2t =3sin tcos t

Passo 4

Calcular a integral:
L=integral0^pi/23sin tcos t,dt
Fazendo u=sin^2t, du=2sin t cos t dt, obtemos
L=32integral0^1du=32

Resposta

dfrac32

Exercícios relacionados