Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica definida por
x=cos t+t sin t e y=sin t−t cos t no intervalo t∈[π/6, π/4]. O conteúdo é comprimento de arco de curvas paramétricas e vamos usar a fórmula
L=∫_{a}^{b}√{(dx/dt)²+(dy/dt)²} dt.

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t. Como
x(t)=cos t+t sin t, derivando temos
x′(t)=−sin t+sin t+t cos t = t cos t.
E como
y(t)=sin t−t cos t, derivando obtemos
y′(t)=cos t−(cos t−t sin t) = t sin t.

Passo 3

Agora a velocidade é
√{(x′)²+(y′)²} = √{(t cos t)²+(t sin t)²} = √{t²(cos² t+sin² t)} = t.
Logo o comprimento de arco é
L = ∫_{π/6}^{π/4} t dt.

Passo 4

Basta integrar e aplicar os limites. A antiderivada de t é t²/2, logo:
L = t²2 ² _{π/6}^{π/4} = 12l((π/4)²−(π/6)²r) ²².

Passo 5

Simplificando:
(π/4)²−(π/6)² = π²l(116−136r) = π²36−16576 = π²20576 = π²5144 ²²²²²²
Multiplicando por 1/2 dá L=5π²/288.

Resposta

5pi^2288

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