Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica definida por
x=cos t+t sin t e y=sin t−t cos t no intervalo t∈[π/6, π/4]. O conteúdo é comprimento de arco de curvas paramétricas e vamos usar a fórmula
x=cos t+t sin t e y=sin t−t cos t no intervalo t∈[π/6, π/4]. O conteúdo é comprimento de arco de curvas paramétricas e vamos usar a fórmula
L=∫_{a}^{b}√{(dx/dt)²+(dy/dt)²} dt.
Passo 2
Precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t. Como
x(t)=cos t+t sin t, derivando temos
x′(t)=−sin t+sin t+t cos t = t cos t.
x′(t)=−sin t+sin t+t cos t = t cos t.
E como
y(t)=sin t−t cos t, derivando obtemos
y′(t)=cos t−(cos t−t sin t) = t sin t.
y(t)=sin t−t cos t, derivando obtemos
y′(t)=cos t−(cos t−t sin t) = t sin t.
Passo 3
Agora a velocidade é
√{(x′)²+(y′)²} = √{(t cos t)²+(t sin t)²} = √{t²(cos² t+sin² t)} = t.
Logo o comprimento de arco é
L = ∫_{π/6}^{π/4} t dt.
Passo 4
Basta integrar e aplicar os limites. A antiderivada de t é t²/2, logo:
L =
_{π/6}^{π/4} =
.
Passo 5
Simplificando:
Multiplicando por 1/2 dá L=5π²/288.