Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.

Passo 1

Neste exercício, a gente tem a curva y = 23(x^2+1)^3/2 para xin [0,2]. O que queremos é o comprimento do arco dessa curva. O conteúdo usado é cálculo de comprimento de curva no plano, cuja fórmula é
L = integrala^b raiz1 + (y')^2,dx

Passo 2

Para usar essa fórmula, precisamos da derivada y'. Aplicando a regra da cadeia em y = 23(x^2+1)^3/2, temos
y' = 23 cdot 32(x^2+1)^1/2 cdot 2x = 2x(x^2+1)^1/2
Aqui usei que a derivada de (x^2+1)^3/2 é 32(x^2+1)^1/2cdot 2x.

Passo 3

Substituindo y' = 2x(x^2+1)^1/2 na fórmula de L, obtemos
1 + (y')^2 = 1 + 4x^2(x^2+1) = 4x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2
Esse reconhecimento de quadrado perfeito facilita a raiz:
raiz1 + (y')^2 = 2x^2 + 1 (para x>= 0)

Passo 4

Agora a integral do comprimento vira
L = integral0^2 (2x^2 + 1),dx = [23x^3 + x]0^2 = 163 + 2 = 223

Resposta

223

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