Nos Problemas 7-16, use (1), (2) ou (4) para calcular o resíduo em cada polo da função dada.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular os resíduos da função f(z)=1(z^2-2z+2)^2 nos seus polos. O conteúdo é Análise Complexa, mais precisamente o cálculo de resíduos em polos de segunda ordem, e vamos usar a fórmula de resíduo para polo de ordem 2.

Passo 2

Primeiro a gente encontra os polos resolvendo z^2-2z+2=0. As raízes são z=1pm i. Como o denominador está ao quadrado, cada uma dessas raízes gera um polo de ordem 2.

Passo 3

Para um polo de ordem 2 em z0, a fórmula do resíduo é
Res(f,z0)=limzto z0ddzl[(z-z0)^2f(z)r]
Seja z0=1+i e z1=1-i. Note que
(z-(1+i))^2f(z)=(z-z0)^2((z-z0)(z-z1))^2 = 1(z-z1)^2

Passo 4

Agora derivamos e avaliamos em cada polo. Para z0=1+i:
ddzl(1(z-z1)^2r)=-21(z-z1)^3,
avaliando em z=1+i (onde z1=1-i e z0-z1=2i) dá
Res(f,1+i) = -21(2i)^3 = -21-8i = 14i = -i4
Para z1=1-i o mesmo cálculo (com z1-z0=-2i) fornece
Res(f,1-i) = -21(-2i)^3 = -218i = -14i = i4

Resposta

Res(f,1+i)= -i/4; Res(f,1-i)= i/4

Exercícios relacionados