Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
y^prime prime-x y=0 (Equação de Airy)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Airy y''-x y=0 usando série de potências em torno de x0=0. O conteúdo aqui é aplicar o método de série de potências para equações diferenciais.

Passo 2

Assumimos que a solução pode ser escrita como série de potências centrada em zero:
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Dessa forma, a segunda derivada fica
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituímos na equação y''-x y=0:
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n - xsumn=0^inftyanx^n=0
No segundo termo fazemos a troca de índice m=n+1 para alinhar as potências em x^m.

Passo 4

Igualando coeficientes de x^m em ambas as séries, obtemos para todo m>=0
(m+2)(m+1)am+2-am-1=0
Isto leva à relação de recorrência válida para n>=0:
an+3=an(n+3)(n+2)
Note que a2=0 (pois envolve a-1=0), e os coeficientes a0 e a1 ficam livres.

Passo 5

Para construir duas soluções independentes, tomamos primeiro a0 livre e a1=0:
  • a3=tfraca03cdot2=tfraca06
  • a6=tfraca36cdot5=tfraca0180

  • Isto gera
y1(x)=1+x^36+x^6180+cdots
Em seguida, tomamos a1 livre e a0=0:
- a4=tfraca14cdot3=tfraca112
- a7=tfraca47cdot6=tfraca1504
- …
Isto gera
y2(x)=x+x^412+x^7504+cdots

Passo 6

Concluímos que a solução geral é combinação linear das duas séries independentes:
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)

Resposta

A solução geral em série de potências é
y(x)=C1l(1+x^36+x^6180+cdotsr)+C2l(x+x^412+x^7504+cdotsr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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