Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
(Equação de Airy)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Airy
usando série de potências em torno de
. O conteúdo aqui é aplicar o método de série de potências para equações diferenciais.
Passo 2
Assumimos que a solução pode ser escrita como série de potências centrada em zero:
Dessa forma, a segunda derivada fica
Passo 3
Substituímos na equação
:
No segundo termo fazemos a troca de índice
Passo 4
Igualando coeficientes de
em ambas as séries, obtemos para todo
Isto leva à relação de recorrência válida para
Note que
(pois envolve
), e os coeficientes
e
ficam livres.
Passo 5
Para construir duas soluções independentes, tomamos primeiro
livre e
:
-
-
- …
Isto gera
Em seguida, tomamos
-
-
- …
Isto gera
Passo 6
Concluímos que a solução geral é combinação linear das duas séries independentes:
Resposta
A solução geral em série de potências é
onde