Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
por série de potências centrada em
. O conteúdo é EDOs e séries de potências, e vamos supor uma solução
para determinar os coeficientes
.
Passo 2
Assumimos a forma da solução e calculamos as derivadas necessárias:
Passo 3
Substituímos na EDO
e ajustamos índices para alinhar as potências de
:
Passo 4
No primeiro somatório fazemos a mudança de índice
, ficando ambas séries em
:
Passo 5
Combinando as séries num único somatório e igualando coeficientes de
a zero, obtemos a relação de recorrência
Passo 6
Daí surge
Passo 7
Como
e
são livres, separamos casos pares e ímpares:
Para temos
Para
Para
temos
Passo 8
Reconhecemos então as séries de
e
:
Resposta
y(x)=C_1\cosh x+C_2\sinh x