Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
y^prime prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial y''-y=0 por série de potências centrada em x0=0. O conteúdo é EDOs e séries de potências, e vamos supor uma solução y(x)=sumn=0^infty an x^n para determinar os coeficientes an.

Passo 2

Assumimos a forma da solução e calculamos as derivadas necessárias:
y(x)=sumn=0^infty an x^n
y'(x)=sumn=1^infty n,an x^n-1
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2

Passo 3

Substituímos na EDO y''-y=0 e ajustamos índices para alinhar as potências de x:
y''-y=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2-sumn=0^infty an x^n=0

Passo 4

No primeiro somatório fazemos a mudança de índice m=n-2, ficando ambas séries em x^m:
summ=0^infty (m+2)(m+1)am+2x^m-summ=0^infty am x^m=0

Passo 5

Combinando as séries num único somatório e igualando coeficientes de x^m a zero, obtemos a relação de recorrência
(m+2)(m+1)am+2-am=0

Passo 6

Daí surge
am+2=am(m+2)(m+1)

Passo 7

Como a0 e a1 são livres, separamos casos pares e ímpares:
Para n=2k temos
a2k=a0(2k)!
Para n=2k+1 temos
a2k+1=a1(2k+1)!

Passo 8

Reconhecemos então as séries de cosh x e sinh x:
y(x)=a0sumk=0^inftyx^2k(2k)!+a1sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)!

Resposta

y(x)=C_1\cosh x+C_2\sinh x

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