Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral da EDO
em série de potências centrada em
. O conteúdo aqui é o método de séries de potências para EDOs de coeficientes variáveis, e vamos precisar supor uma expansão
, derivar, substituir na equação e obter uma relação de recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Começamos supondo
Então
e
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes de
a zero, fica para
e para
Passo 4
Da condição em
vem
E da recorrência para
Isso nos dá dois parâmetros livres:
e
.
Passo 5
Para obter as duas soluções independentes, separamos os casos:
– Choque : isso gera uma série só com potências pares e ímpares dependendo da recorrência. As primeiras parcelas são
– Choque
– Choque
: gera outra série com início em
. As primeiras parcelas são
Passo 6
Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral é
y = C_1,y_1(x) + C_2,y_2(x),
com constantes arbitrárias .
y = C_1,y_1(x) + C_2,y_2(x),
com constantes arbitrárias
Resposta
A solução geral em série de potências centrada em 0 é
onde os coeficientes satisfazem
com
e
.