Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
(1-x) y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da EDO (1 - x),y'' + y = 0 em série de potências centrada em x0 = 0. O conteúdo aqui é o método de séries de potências para EDOs de coeficientes variáveis, e vamos precisar supor uma expansão y = sumn=0^infty an x^n, derivar, substituir na equação e obter uma relação de recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Começamos supondo
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Então
y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n
e
x,y''(x)=sumn=1^infty (n+1)n,an+1x^n

Passo 3

Substituindo em (1-x)y''+y=0 obtemos
sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n -sumn=1^infty (n+1)n,an+1x^n +sumn=0^infty an x^n=0
Igualando coeficientes de x^n a zero, fica para n=0
2a2 + a0 = 0
e para n>=1
(n+2)(n+1)an+2-n(n+1)an+1+an=0

Passo 4

Da condição em n=0 vem
a2=-a02
E da recorrência para n>=1
an+2=n(n+1)an+1-an(n+2)(n+1)
Isso nos dá dois parâmetros livres: a0 e a1.

Passo 5

Para obter as duas soluções independentes, separamos os casos:
– Choque a0=1,,a1=0: isso gera uma série só com potências pares e ímpares dependendo da recorrência. As primeiras parcelas são
y1(x)=1-tfrac12x^2-tfrac16x^3-tfrac124x^4-cdots
– Choque a0=0,,a1=1: gera outra série com início em x. As primeiras parcelas são
y2(x)=x-tfrac16x^3-tfrac112x^4-tfrac124x^5-cdots

Passo 6

Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral é
y = C_1,y_1(x) + C_2,y_2(x),
com constantes arbitrárias C1,C2.

Resposta

A solução geral em série de potências centrada em 0 é
y(x)=C1l(1-tfrac12x^2-tfrac16x^3-tfrac124x^4-cdotsr) + C2l(x-tfrac16x^3-tfrac112x^4-tfrac124x^5-cdotsr),
onde os coeficientes satisfazem
an+2=n(n+1)an+1-an(n+2)(n+1),
com a0=C1 e a1=C2.

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