Nos Problemas 7-16, use (1), (2) ou (4) para calcular o resíduo em cada polo da função dada.

Passo 1

A função é f(z)=2z-1(z-1)^4(z+3). O objetivo é achar os resíduos nos polos de f, aplicando a fórmula de polo simples para z=-3 e a fórmula de polo de ordem 4 para z=1.

Passo 2

O denominador se anula em z=1 (polo de ordem 4) e em z=-3 (polo simples).

Passo 3

Para o polo simples z=-3, usamos a fórmula Res(f,-3)=limzto-3(z+3)f(z). Avaliando,
Res(f,-3)=limzto-32z-1(z-1)^4=2(-3)-1(-3-1)^4=-7(-4)^4=-7256

Passo 4

Para o polo de ordem 4 em z=1, usamos
Res(f,1)=13!limzto1d^3dz^3l[(z-1)^4f(z)r] = 16limzto1d^3dz^3l[2z-1z+3r]

Passo 5

Definindo g(z)=2z-1z+3, calculamos as derivadas:
g'(z)=7(z+3)^2, g''(z)=-14(z+3)^3, g'''(z)=42(z+3)^4

Passo 6

Avaliando em z=1 g'''(1)=424^4=42256=21128 Logo
Res(f,1)=16cdot21128=21768=7256

Resposta

Residue em z=1: 7/256; residue em z=-3: -7/256.

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