Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
Passo 1
A equação diferencial é
, precisamos da solução geral em série de potências centrada em
. Vamos usar a hipótese de série e deduzir as relações entre os coeficientes.
Passo 2
Supondo
, temos
e
Passo 3
Para alinhar as potências de
, mude o índice em
para
e em
para
. Igualando coeficientes de
em
obtemos a recorrência
Passo 4
Analisando os casos iniciais: para
dá
e para
dá
. A recorrência liga
a
, então todos os coeficientes com índices congruentes a 2 ou 3 módulo 4 são nulos. Isso separa a solução em duas séries: uma com potências
e outra com
.
Passo 5
Para a sub-série de índices
temos
e para
Iterando essas fórmulas, cada coeficiente se expressa em função de
(para
) ou
(para
).
Passo 6
Assim chegamos à solução geral como combinação linear de duas séries independentes, uma par e outra ímpar: veja a resposta final.