Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
y^prime prime+alpha^2 x^2 y=0, alpha neq 0

Passo 1

A equação diferencial é y''+alpha^2x^2y=0, precisamos da solução geral em série de potências centrada em x0=0. Vamos usar a hipótese de série e deduzir as relações entre os coeficientes.

Passo 2

Supondo y(x)=sumn=0^infty anx^n, temos
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2,
e
alpha^2x^2y(x)=sumn=0^inftyalpha^2anx^n+2

Passo 3

Para alinhar as potências de x, mude o índice em y'' para m=n-2 e em alpha^2x^2y para m=n+2. Igualando coeficientes de x^m em
(m+2)(m+1)am+2+alpha^2am-2=0,
obtemos a recorrência

Passo 4

Analisando os casos iniciais: para m=0 2a2=0Rightarrow a2=0 e para m=1 6a3=0Rightarrow a3=0. A recorrência liga an+2 a an-2, então todos os coeficientes com índices congruentes a 2 ou 3 módulo 4 são nulos. Isso separa a solução em duas séries: uma com potências 4k e outra com 4k+1.

Passo 5

Para a sub-série de índices 4k temos
a4k=-alpha^2(4k)(4k-1),a4k-4,
e para 4k+1
a4k+1=-alpha^2(4k+1)(4k),a4k-3
Iterando essas fórmulas, cada coeficiente se expressa em função de a0 (para x^4k) ou a1 (para x^4k+1).

Passo 6

Assim chegamos à solução geral como combinação linear de duas séries independentes, uma par e outra ímpar: veja a resposta final.

Resposta

y(x)=a0sumk=0^infty(-1)^kalpha^2kprodj=1^k(4j)(4j-1),x^4k+a1sumk=0^infty(-1)^kalpha^2kprodj=1^k(4j+1)(4j),x^4k+1

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