Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.
8 x^2 y-2 x^6=1 de a

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva implícita 8x^2y-2x^6=1 entre os pontos (1,3/8) e (2,129/32). O conteúdo principal é comprimento de arco de uma curva dada por y=f(x) num intervalo de x=1 a x=2, e vamos precisar de y' e da fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Primeiro isolamos y em função de x. Da equação
8x^2y-2x^6=1
temos
y=2x^6+18x^2=x^44+18x^2

Passo 3

Calculamos a derivada y'. Derivando cada termo:
y'=ddxl(x^44r)+ddxl(18x^-2r)=x^3-14x^3

Passo 4

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
L=integral1^2raiz1+(y')^2,dx

Passo 5

Agora simplificamos 1+(y')^2. Primeiro
(y')^2=l(x^3-14x^3r)^2=x^6-12+116x^6,
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1+(y')^2=x^6+12+116x^6=l(x^3+14x^3r)^2

Passo 6

Assim
raiz1+(y')^2=x^3+14x^3,
e o comprimento fica
L=integral1^2l(x^3+14x^3r)dx

Passo 7

Finalmente, integramos:
integral x^3dx=x^44,integral x^-3dx=-12x^2,
portanto
L=l[x^44-18x^2r]1^2=l(4-132r)-l(14-18r)=12332

Resposta

12332

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