Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
Passo 1
A questão pede a solução geral da equação diferencial
em série de potências centrada em
. O assunto é método de séries de potências para EDOs de 2ª ordem e vamos precisar assumir
, calcular derivadas e montar a relação de recorrência.
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências centrada em zero:
Calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituímos na equação
e reescrevemos cada soma como potência de
:
- Para
usamos o deslocamento de índice :
- Para
:
- Para
:
Somando tudo e igualando a zero.
Passo 4
Coletamos coeficientes de cada
e igualamos a zero:
- Para
: → . - Para
: → . - Para
:
ou seja
Passo 5
Reconhecemos duas constantes livres
e
e podemos escrever a solução geral como combinação linear dos dois modos independentes. Os primeiros termos são:
Modo 1 (inicia em ):
Modo 1 (inicia em
Modo 2 (inicia em
):
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