Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
y^prime prime+x^2 y^prime+x y=0

Passo 1

A questão pede a solução geral da equação diferencial y'' + x^2 y' + x y = 0 em série de potências centrada em x0=0. O assunto é método de séries de potências para EDOs de 2ª ordem e vamos precisar assumir y=sum an x^n, calcular derivadas e montar a relação de recorrência.

Passo 2

Assumimos a solução em série de potências centrada em zero:
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Calculamos as derivadas:
y'(x)=sumn=1^infty n,an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2

Passo 3

Substituímos na equação y'' + x^2y' + xy=0 e reescrevemos cada soma como potência de x^n:
  • Para y'' usamos o deslocamento de índice nto n+2:
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n
  • Para x^2y':
x^2y'=sumn=2^infty (n-1),an-1,x^n
  • Para xy:
xy=sumn=1^infty an-1,x^n
Somando tudo e igualando a zero.

Passo 4

Coletamos coeficientes de cada x^n e igualamos a zero:
  • Para n=0: 2cdot1,a2=0 a2=0.
  • Para n=1: 3cdot2,a3 + a0=0 a3=-tfraca06.
  • Para n>=2:
(n+2)(n+1)an+2 + (n-1)an-1 + an-1 =0
ou seja
an+2 = -n,an-1(n+2)(n+1)

Passo 5

Reconhecemos duas constantes livres a0 e a1 e podemos escrever a solução geral como combinação linear dos dois modos independentes. Os primeiros termos são:
Modo 1 (inicia em x^0):
y1(x)=1 - x^36 + x^645 - cdots
Modo 2 (inicia em x^1):
y2(x)=x - x^46 + cdots
Logo,
y(x)=a0,y1(x) + a1,y2(x)

Resposta

an+2 = -n,an-1(n+2)(n+1), a2=0, a3=-a06, y(x)=a0l(1 - x^36 + x^645 - cdotsr) + a1l(x - x^46 + cdotsr)

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