Nos Problemas 7-16, use (1), (2) ou (4) para calcular o resíduo em cada polo da função dada.

Passo 1

Estamos lidando com a função f(z)=cos zz^2(z-pi)^3 que tem um polo de ordem 2 em z=0 e um polo de ordem 3 em z=pi. Para calcular resíduos em polos de ordem n>1 usamos a fórmula geral

Passo 2

Para o polo de ordem 2 em z=0 aplicamos a fórmula com n=2:
Como
Res(f,0)=limzto0ddzl[z^2 f(z)r]
vamos derivar esse quociente.

Passo 3

Calculando a derivada e avaliando em z=0:
ddzl(cos z(z-pi)^3r) =-sin z(z-pi)^3-3cos z(z-pi)^4
Em z=0 temos sin0=0 e cos0=1, além de (0-pi)^4=pi^4. Logo

Passo 4

Para o polo de ordem 3 em z=pi usamos a fórmula com n=3:
Note que
Res(f,pi)=12!limztopid^2dz^2l[(z-pi)^3f(z)r]

Passo 5

Calculamos agora as derivadas de h(z)=cos z/z^2:
h'(z)=-sin zz^2-2cos zz^3,
h''(z)=4sin zz^3+l(61z^4-1z^2r)cos z
Avaliando em z=pi (com sinpi=0, cospi=-1) e multiplicando por 1/2 obtemos

Resposta

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