Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
em série de potências centrada em
. O conteúdo aqui é o método de séries de potências: vamos assumir que
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Vamos escrever a série de
, sua segunda derivada
e o termo
:
Passo 3
Precisamos alinhar as potências de
. Para
trocamos o índice
e para
trocamos
. Assim obtemos
onde definimos
se
.
Passo 4
Comparando coeficientes de
em cada lado, vem a relação de recorrência
Para
e
aparece
ou
, que são zero, logo
. Para
temos
Passo 5
Perceba que os coeficientes se dividem em duas famílias independentes: ímpares e pares. Escolhemos
e
livres (constantes de integração). Aplicando a recorrência:
- Até
e são nulos. - Para pares:
, etc. - Para ímpares:
, etc.
Passo 6
Escrevendo as duas séries independentes, temos as soluções fundamentais:
A solução geral é combinação linear dessas séries.
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.