Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
y^prime prime=x^2 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y''=x^2y em série de potências centrada em x0=0. O conteúdo aqui é o método de séries de potências: vamos assumir que y=sumn=0^infty anx^n e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Vamos escrever a série de y, sua segunda derivada y'' e o termo x^2y:
y = sumn=0^infty anx^n,
y'' = sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2,
x^2y = sumn=0^infty anx^n+2

Passo 3

Precisamos alinhar as potências de x. Para y'' trocamos o índice m=n-2 e para x^2y trocamos m=n+2. Assim obtemos
summ=0^infty (m+2)(m+1)am+2x^m = summ=0^infty am-2x^m,
onde definimos ak=0 se k<0.

Passo 4

Comparando coeficientes de x^m em cada lado, vem a relação de recorrência
(m+2)(m+1)am+2 = am-2, m>=0
Para m=0 e m=1 aparece a-2 ou a-1, que são zero, logo a2=a3=0. Para m>=2 temos
am+2 = am-2(m+2)(m+1)

Passo 5

Perceba que os coeficientes se dividem em duas famílias independentes: ímpares e pares. Escolhemos a0 e a1 livres (constantes de integração). Aplicando a recorrência:
  • Até a2 e a3 são nulos.
  • Para pares: a4 = a0/(4cdot3), a8 = a4/(8cdot7) etc.
  • Para ímpares: a5 = a1/(5cdot4), a9 = a5/(9cdot8) etc.

Passo 6

Escrevendo as duas séries independentes, temos as soluções fundamentais:
y1(x)=sumk=0^infty x^4kprodj=1^k(4j)(4j-1), y2(x)=sumk=0^infty x^4k+1prodj=1^k(4j+1)(4j)
A solução geral é combinação linear dessas séries.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1sumk=0^infty x^4kprodj=1^k(4j)(4j-1) + C2sumk=0^infty x^4k+1prodj=1^k(4j+1)(4j),
onde C1=a0 e C2=a1 são constantes arbitrárias.

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