Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em x0=0 :
y^prime prime=x^3 y

Passo 1

A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial y'' = x^3 y em série de potências centrada em x0 = 0. O conteúdo aqui é Método das Séries de Potências, e vamos precisar: assumir y = sumn=0^infty an x^n, obter expressões para y'' e x^3y, e igualar coeficientes para achar uma relação de recorrência.

Passo 2

Assumimos a solução em série
y = sumn=0^infty an x^n
Calculamos então
y'' = sumn=0^infty an+2(n+2)(n+1)x^n
e
x^3y = sumn=0^infty an x^n+3 = sumn=3^infty an-3 x^n = sumn=0^infty an-3 x^n,
onde entendemos que para n<3 vale an-3=0.

Passo 3

Igualando y'' = x^3y termo a termo, temos para todo n>=0
(n+2)(n+1)an+2 = an-3
Para n=0,1,2 isso dá a2=a3=a4=0. A partir de n=3 vem a recorrência
an+2 = an-3(n+2)(n+1), n>=3

Passo 4

Como só a0 e a1 são livres, temos duas soluções independentes. Observamos que a recorrência liga coeficientes com salto de índice 5, logo uma solução só tem potências x^5k e a outra só tem potências x^5k+1.

Passo 5

Para a família iniciada em a0, definimos a5k pelos passos:
a5k = a5(k-1)(5k)(5k-1), k>=1,
com a0 dado. Logo
a5k = a0prodm=1^k(5m(5m-1))

Passo 6

Para a família iniciada em a1, temos analogamente
a5k+1 = a5(k-1)+1(5k+1)(5k), k>=1,
com a1 dado, isto é
a5k+1 = a1prodm=1^k((5m+1)(5m))

Passo 7

Portanto as duas séries fundamentais são:
y1(x) = sumk=0^infty x^5kprodm=1^k(5m(5m-1)),
y2(x) = sumk=0^infty x^5k+1prodm=1^k((5m+1)(5m)),
sendo o produto vazio (para k=0) igual a 1.

Passo 8

Assim, a solução geral é combinação linear dessas duas séries.

Resposta

y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x), onde
$$y_1(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x{5k}}{\prod_{m=1}k(5m(5m-1))},\quad y_2(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x{5k+1}}{\prod_{m=1}k((5m+1)(5m))}.
$$

Exercícios relacionados