Ache a solução geral da equação diferencial dada em sĂ©rie de potĂȘncias centradas em
:
Passo 1
A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
em série de potências centrada em
. O conteúdo aqui é Método das Séries de Potências, e vamos precisar: assumir
, obter expressões para
e
, e igualar coeficientes para achar uma relação de recorrência.
Passo 2
Assumimos a solução em série
Calculamos então
e
onde entendemos que para
vale
.
Passo 3
Igualando
termo a termo, temos para todo
Para
isso dá
. A partir de
vem a recorrência
Passo 4
Como só
e
são livres, temos duas soluções independentes. Observamos que a recorrência liga coeficientes com salto de índice 5, logo uma solução só tem potências
e a outra só tem potências
.
Passo 5
Para a família iniciada em
, definimos
pelos passos:
com
dado. Logo
Passo 6
Para a família iniciada em
, temos analogamente
com
dado, isto é
Passo 7
Portanto as duas séries fundamentais são:
sendo o produto vazio (para
) igual a 1.
Passo 8
Assim, a solução geral é combinação linear dessas duas séries.
Resposta
$$y_1(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x{5k}}{\prod_{m=1}k(5m(5m-1))},\quad y_2(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x{5k+1}}{\prod_{m=1}k((5m+1)(5m))}.
$$