Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.
(y-3)^2=4(x+2)^3 de (-1,5) a (2,19)

Passo 1

O problema pede o comprimento do arco da curva definida por (y-3)^2=4(x+2)^3 entre os pontos (-1,5) e (2,19). O conteúdo é comprimento de arco de curva y=y(x), e vamos precisar usar a fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Da equação (y-3)^2=4(x+2)^3 temos y-3=pm2(x+2)^3/2. Em x=-1 vale y=5, logo y-3=2>0, então escolhemos
y=3+2(x+2)^3/2.

Passo 3

Calculamos a derivada:
,
portanto y'=ddxl[3+2(x+2)^3/2]=2cdottfrac32(x+2)^1/2=3(x+2)^1/2.

Passo 4

Montamos o integral de arco:
L=integral-1^2raiz1+(y')^2,dx=integral-1^2raiz1+9(x+2),dx=integral-1^2raiz9x+19,dx

Passo 5

Para integrar integralraiz9x+19,dx usamos a primitiva de raizax+b:
integralraizax+b,dx=2(ax+b)^3/23a
Aplicando com a=9 e b=19 obtemos
integralraiz9x+19,dx=2(9x+19)^3/227
Agora avaliamos de x=-1 a x=2:
L=2(9x+19)^3/227|-1^2 =227l((37)^3/2-(10)^3/2r) =227l(37raiz37-10raiz10r)

Resposta

L=227l(37raiz37-10raiz10r)

Exercícios relacionados