Para cada uma das funções , determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de :

Passo 1

Estamos com a função z = f(x,y) = \sqrt{36 - 9x^2 - 4y^2}. O objetivo é achar o domínio (onde o radicando é não‐negativo), as curvas de nível (seções z = constante) e os traços verticais (interseções com planos x = const e y = const). Vamos usar conceitos de inequações em duas variáveis e geometria de elipses para entender o formato.

Passo 2

Para encontrar o domínio, exigimos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Assim: 36 - 9x^2 - 4y^2 \ge 0. Rearranjando, temos
9x^2 + 4y^2 <= 36
que, dividindo tudo por 36, é
x^24 + y^29 <= 1
Isso mostra que o domínio D é a região interna (e fronteira) da elipse de semieixos a = 2 (eixo x) e b = 3 (eixo y) no plano xy.

Passo 3

As curvas de nível são obtidas fixando z = k, onde k varia de 0 até o valor máximo quando x=y=0, que é 6. Temos
z = k implies raiz36 - 9x^2 - 4y^2 = k , (0 <= k <= 6)
Elevando ao quadrado:
9x^2 + 4y^2 = 36 - k^2
Cada k gera uma elipse central, com semieixos ak = raiztfrac36-k^29 e bk = raiztfrac36-k^24. Para k=0 recuperamos a fronteira do domínio; para k=6 a elipse degenera num ponto.

Passo 4

Para os traços verticais, fixamos x = x_0 e olhamos em (y,z). Então
z = raiz36 - 9x0^2 - 4y^2
é um semimeridiano de elipse no plano yz, definido para 4y^2 <= 36 - 9x0^2. De modo análogo, fixando y = y_0, obtemos em (x,z)
z = raiz36 - 4y0^2 - 9x^2
que é outro semimeridiano de elipse no plano xz.
Note que a equação completa
9x^2 + 4y^2 + z^2 = 36
é um elipsoide. Como z está dada pela raiz positiva, nosso gráfico é a metade superior desse elipsoide. Geometricamente, temos uma “cúpula” elíptica apoiada na região elíptica do plano xy.

Passo 5

No esboço, desenhe primeiro a projeção no plano xy (elipse de semieixos 2 e 3), depois algumas curvas de nível concêntricas (elipses menores) e, por fim, o formato abaulado de uma meia‐elipsoide acima dessa elipse.

Resposta

Domínio: D = { (x,y) | 9x² + 4y² ≤ 36 }, ou seja, a região interna e borda da elipse x²/4 + y²/9 ≤ 1. Curvas de nível: para cada k ∈ [0,6], 9x² + 4y² = 36 – k², elipses concêntricas de semieixos √((36–k²)/9) e √((36–k²)/4). Traços verticais: em x = x₀, z = √(36 – 9x₀² – 4y²) é semielipse em yz; em y = y₀, z = √(36 – 4y₀² – 9x²) é semielipse em xz. Gráfico: meia‐superfície superior do elipsoide 9x² + 4y² + z² = 36.

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