Para cada uma das funções , determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de :

Passo 1

Neste problema, temos a função $ z = f(x,y) = 3 - x^2 - y^2 $. É uma superfície do tipo paraboloide circular voltado para baixo. Precisamos determinar: domínio, curvas de nível e traços verticais, e esboçar o gráfico.

Passo 2

Por ser uma função polinomial em x e y, f está definida para todos os pares (x,y). Logo, o domínio é R^2. Geometricamente, isso corresponde a todo o plano xy.

Passo 3

Fixando f(x,y)=k, temos:
3 - x^2 - y^2 = k
que leva a
x^2 + y^2 = 3 - k
Para existir curva de nível, precisamos de 3 - k >= 0, ou seja k <= 3. Cada curva é um círculo de raio raiz3-k centrado na origem. Geometricamente, são círculos concêntricos no plano xy.

Passo 4

Para os traços verticais, fazemos cortes por planos paralelos aos planos coordenados:
  • Para y = c fixo, a seção é a parábola
z = 3 - x^2 - c^2
no plano xz, com vértice em (x,z)=(0,3-c^2).
  • Para x = c fixo, a seção é a parábola
z = 3 - c^2 - y^2
no plano yz, com vértice em (y,z)=(0,3-c^2).

Passo 5

Com domínio, curvas de nível e traços verticais analisados, concluímos que o gráfico de f é um paraboloide circular voltado para baixo, com vértice em (0,0,3). As curvas de nível são círculos concêntricos decrescentes e as seções verticais são parábolas que ilustram a abertura do paraboloide.

Resposta

Domínio: R^2. Curvas de nível dadas por x^2 + y^2 = 3 - k para k <= 3 (círculos centrados na origem de raio raiz3-k). Traços verticais: para y=c, parábola z = 3 - x^2 - c^2 no plano xz; para x=c, parábola z = 3 - c^2 - y^2 no plano yz. Gráfico: paraboloide circular voltado para baixo com vértice em (0,0,3).

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