Para cada uma das funções
, determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de
:
Passo 1
Neste problema, temos a função $ z = f(x,y) = 3 - x^2 - y^2 $. É uma superfície do tipo paraboloide circular voltado para baixo. Precisamos determinar: domínio, curvas de nível e traços verticais, e esboçar o gráfico.
Passo 2
Por ser uma função polinomial em
e
,
está definida para todos os pares
. Logo, o domínio é
. Geometricamente, isso corresponde a todo o plano
.
Passo 3
Fixando
, temos:
que leva a
Para existir curva de nível, precisamos de
, ou seja
. Cada curva é um círculo de raio
centrado na origem. Geometricamente, são círculos concêntricos no plano
.
Passo 4
Para os traços verticais, fazemos cortes por planos paralelos aos planos coordenados:
- Para
fixo, a seção é a parábola
no plano
, com vértice em
.
- Para
fixo, a seção é a parábola
no plano
, com vértice em
.
Passo 5
Com domínio, curvas de nível e traços verticais analisados, concluímos que o gráfico de
é um paraboloide circular voltado para baixo, com vértice em
. As curvas de nível são círculos concêntricos decrescentes e as seções verticais são parábolas que ilustram a abertura do paraboloide.
Resposta
Domínio:
. Curvas de nível dadas por
para
(círculos centrados na origem de raio
). Traços verticais: para
, parábola
no plano
; para
, parábola
no plano
. Gráfico: paraboloide circular voltado para baixo com vértice em
.