Quantos subgrupos de
são isomórficos a
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A pergunta é: Quantos subgrupos de
são isomórficos a
? Isso envolve conhecimentos de álgebra abstrata, especificamente sobre grupos abelianos finitos e isomorfismos de grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser isomórfico e como identificar subgrupos dentro de um produto direto de grupos cíclicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo de grupos. Dois grupos são isomórficos se existe uma bijeção entre eles que preserva a operação do grupo. Isso significa que, estruturalmente, os dois grupos são “iguais”, mesmo que seus elementos sejam diferentes.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o grupo
. Esse é o produto direto de
(um grupo cíclico de ordem 5) e
(um grupo cíclico de ordem 6). A ordem total desse grupo é
.
Passo 4
Para encontrar subgrupos isomórficos a
dentro de
, devemos procurar subgrupos que também tenham estrutura de produto direto de grupos cíclicos de ordens 5 e 6, e cuja ordem seja 30 (já que isomorfismo implica mesma ordem).
Passo 5
Observamos que
tem ordem 30. Um subgrupo isomórfico a ele também teria que ter ordem 30. Contudo, em qualquer grupo, o maior subgrupo possível tem ordem igual ao próprio grupo. Portanto, o único subgrupo de ordem 30 em
é o próprio grupo.
Resposta
Existe apenas um subgrupo de
que é isomórfico a
.