Quantos subgrupos de Z5 times Z6 são isomórficos a Z5 times Z6?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A pergunta é: Quantos subgrupos de Z5 times Z6 são isomórficos a Z5 times Z6? Isso envolve conhecimentos de álgebra abstrata, especificamente sobre grupos abelianos finitos e isomorfismos de grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser isomórfico e como identificar subgrupos dentro de um produto direto de grupos cíclicos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo de grupos. Dois grupos são isomórficos se existe uma bijeção entre eles que preserva a operação do grupo. Isso significa que, estruturalmente, os dois grupos são “iguais”, mesmo que seus elementos sejam diferentes.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o grupo Z5 times Z6. Esse é o produto direto de Z5 (um grupo cíclico de ordem 5) e Z6 (um grupo cíclico de ordem 6). A ordem total desse grupo é 5 times 6 = 30.

Passo 4

Para encontrar subgrupos isomórficos a Z5 times Z6 dentro de Z5 times Z6, devemos procurar subgrupos que também tenham estrutura de produto direto de grupos cíclicos de ordens 5 e 6, e cuja ordem seja 30 (já que isomorfismo implica mesma ordem).

Passo 5

Observamos que Z5 times Z6 tem ordem 30. Um subgrupo isomórfico a ele também teria que ter ordem 30. Contudo, em qualquer grupo, o maior subgrupo possível tem ordem igual ao próprio grupo. Portanto, o único subgrupo de ordem 30 em Z5 times Z6 é o próprio grupo.

Resposta

Existe apenas um subgrupo de Z5 times Z6 que é isomórfico a Z5 times Z6.

Exercícios relacionados