Um automorfismo de um grupo
é um isomorfismo com o próprio grupo. Prove que a conjugação complexa é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos, isto é, mostre que a função
é um isomorfismo de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que provar que a conjugação complexa, que é uma função que troca o sinal da parte imaginária dos números complexos, é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos. Ou seja, precisamos mostrar que a função
é um isomorfismo de
para
. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como homomorfismo e isomorfismo, e checar se a função preserva a operação de adição e se é bijetora.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um automorfismo. Um automorfismo de um grupo
é uma função que mapeia o grupo
em si mesmo de forma que a estrutura do grupo seja preservada. Isso significa que a função deve ser um isomorfismo, ou seja, precisa ser um homomorfismo (preservar a operação do grupo) e bijetora (injetora e sobrejetora).
Passo 3
Vamos verificar se
é um homomorfismo. Isso quer dizer que para quaisquer dois números complexos
e
, a função deve satisfazer:
Vamos calcular cada lado da igualdade.
Passo 4
Calculando o lado esquerdo:
Passo 5
Calculando o lado direito:
Passo 6
Comparando os dois lados:
Isso mostra que
preserva a operação de adição, ou seja,
é um homomorfismo.
Passo 7
Agora, precisamos verificar se
é bijetora. Uma função é bijetora se é injetora (cada elemento do grupo de partida mapeia para um elemento único no grupo de chegada) e sobrejetora (todo elemento do grupo de chegada é a imagem de algum elemento do grupo de partida).
Passo 8
Para provar que
é injetora, suponha que
. Então:
Isso implica que
e
, ou seja,
. Logo,
, provando que
é injetora.
Passo 9
Para provar que
é sobrejetora, pegamos um número complexo qualquer
em
e mostramos que existe um
tal que
.
Escolhemos
e
, então:
Assim, todo elemento de
é imagem de algum elemento de
pela função
, mostrando que
é sobrejetora.
Passo 10
Como
é um homomorfismo bijetor, ela é um isomorfismo. Portanto,
é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos.
Resposta
A função
é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos
.