Um automorfismo de um grupo G é um isomorfismo com o próprio grupo. Prove que a conjugação complexa é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos, isto é, mostre que a função varphi(a+b i)=a-b i é um isomorfismo de C para C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que provar que a conjugação complexa, que é uma função que troca o sinal da parte imaginária dos números complexos, é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos. Ou seja, precisamos mostrar que a função varphi(a + b i) = a - b i é um isomorfismo de C para C. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como homomorfismo e isomorfismo, e checar se a função preserva a operação de adição e se é bijetora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um automorfismo. Um automorfismo de um grupo G é uma função que mapeia o grupo G em si mesmo de forma que a estrutura do grupo seja preservada. Isso significa que a função deve ser um isomorfismo, ou seja, precisa ser um homomorfismo (preservar a operação do grupo) e bijetora (injetora e sobrejetora).

Passo 3

Vamos verificar se varphi é um homomorfismo. Isso quer dizer que para quaisquer dois números complexos z1 = a + b i e z2 = c + d i, a função deve satisfazer:
varphi(z1 + z2) = varphi(z1) + varphi(z2)
Vamos calcular cada lado da igualdade.

Passo 4

Calculando o lado esquerdo:
varphi(z1 + z2) = varphi((a + c) + (b + d)i) = (a + c) - (b + d)i

Passo 5

Calculando o lado direito:
varphi(z1) + varphi(z2) = (a - b i) + (c - d i) = (a + c) - (b + d)i

Passo 6

Comparando os dois lados:
varphi(z1 + z2) = (a + c) - (b + d)i = varphi(z1) + varphi(z2)
Isso mostra que varphi preserva a operação de adição, ou seja, varphi é um homomorfismo.

Passo 7

Agora, precisamos verificar se varphi é bijetora. Uma função é bijetora se é injetora (cada elemento do grupo de partida mapeia para um elemento único no grupo de chegada) e sobrejetora (todo elemento do grupo de chegada é a imagem de algum elemento do grupo de partida).

Passo 8

Para provar que varphi é injetora, suponha que varphi(z1) = varphi(z2). Então:
a - b i = c - d i
Isso implica que a = c e -b = -d, ou seja, b = d. Logo, z1 = z2, provando que varphi é injetora.

Passo 9

Para provar que varphi é sobrejetora, pegamos um número complexo qualquer w = c + d i em C e mostramos que existe um z = a + b i tal que varphi(z) = w.
Escolhemos a = c e b = -d, então:
varphi(a + b i) = a - b i = c + d i = w
Assim, todo elemento de C é imagem de algum elemento de C pela função varphi, mostrando que varphi é sobrejetora.

Passo 10

Como varphi é um homomorfismo bijetor, ela é um isomorfismo. Portanto, varphi é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos.

Resposta

A função varphi(a + b i) = a - b i é um automorfismo do grupo aditivo dos números complexos C.

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